Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2-x)(x+1)/x+2

Gráfico de la función y = (2-x)(x+1)/x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (2 - x)*(x + 1)    
f(x) = --------------- + 2
              x
f(x)=2+(2−x)(x+1)xf{\left(x \right)} = 2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} 
f = 2 + ((2 - x)*(x + 1))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2+(2−x)(x+1)x=02 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=32−172x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}
x2=32+172x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}
Solución numérica
x1=−0.56155281280883x_{1} = -0.56155281280883
x2=3.56155281280883x_{2} = 3.56155281280883
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2 - x)*(x + 1))/x + 2.
2−00+2\frac{2 - 0}{0} + 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−2xx−(2−x)(x+1)x2=0\frac{1 - 2 x}{x} - \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2+x−2x+x+1x+2x−1x−2(x−2)(x+1)x2x=0\frac{-2 + \frac{x - 2}{x} + \frac{x + 1}{x} + \frac{2 x - 1}{x} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2+(2−x)(x+1)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2+(2−x)(x+1)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - x)*(x + 1))/x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2+(2−x)(x+1)xx)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(2+(2−x)(x+1)xx)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2+(2−x)(x+1)x=2−(1−x)(x+2)x2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = 2 - \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{x}
- No
2+(2−x)(x+1)x=−2+(1−x)(x+2)x2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = -2 + \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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