Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2-x)(x+1)/x+2

Gráfico de la función y = (2-x)(x+1)/x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (2 - x)*(x + 1)    
f(x) = --------------- + 2
              x
$$f{\left(x \right)} = 2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}$$ 
f = 2 + ((2 - x)*(x + 1))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.56155281280883$$
$$x_{2} = 3.56155281280883$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2 - x)*(x + 1))/x + 2.
$$\frac{2 - 0}{0} + 2$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - 2 x}{x} - \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-2 + \frac{x - 2}{x} + \frac{x + 1}{x} + \frac{2 x - 1}{x} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - x)*(x + 1))/x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = 2 - \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{x}$$
- No
$$2 + \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x} = -2 + \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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