Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
4*x/(16+x^2)
-
(3x^2-10)/(3-2x)
-
3+9*x^2-x^3
-
4/(x^2-1)
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)^ dos /(x- cuatro)
- (x menos 3) al cuadrado dividir por (x menos 4)
- (x menos tres) en el grado dos dividir por (x menos cuatro)
- (x-3)2/(x-4)
- x-32/x-4
- (x-3)²/(x-4)
- (x-3) en el grado 2/(x-4)
- x-3^2/x-4
- (x-3)^2 dividir por (x-4)
-
Expresiones semejantes
- (x+3)^2/(x-4)
- (x-3)^2/(x+4)
Gráfico de la función y = (x-3)^2/(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x - 3)
f(x) = --------
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4}$$
f = (x - 3)^2/(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.99999954552593$$
$$x_{2} = 2.99999951814967$$
$$x_{3} = 2.99999953419232$$
$$x_{4} = 2.99999953456573$$
$$x_{5} = 2.99999948462017$$
$$x_{6} = 2.99999943035127$$
$$x_{7} = 2.99999957968753$$
$$x_{8} = 2.99999954615401$$
$$x_{9} = 2.99999953559961$$
$$x_{10} = 2.99999950849293$$
$$x_{11} = 2.99999932738052$$
$$x_{12} = 2.99999953520074$$
$$x_{13} = 2.99999946631169$$
$$x_{14} = 2.99999955189884$$
$$x_{15} = 2.99999954790008$$
$$x_{16} = 2.99999954811848$$
$$x_{17} = 2.99999954886431$$
$$x_{18} = 2.99999953438435$$
$$x_{19} = 2.99999954640332$$
$$x_{20} = 2.99999951564007$$
$$x_{21} = 2.99999955244951$$
$$x_{22} = 2.99999955013805$$
$$x_{23} = 2.99999954653712$$
$$x_{24} = 2.99999954581989$$
$$x_{25} = 2.99999953583603$$
$$x_{26} = 2.99999952570386$$
$$x_{27} = 2.99999955305839$$
$$x_{28} = 2.99999953053107$$
$$x_{29} = 2.99999949571348$$
$$x_{30} = 2.99999953398868$$
$$x_{31} = 2.9999995031549$$
$$x_{32} = 2.9999996604653$$
$$x_{33} = 2.9999995475008$$
$$x_{34} = 2.99999954698084$$
$$x_{35} = 2.99999954859908$$
$$x_{36} = 2.99999953547298$$
$$x_{37} = 2.99999955630998$$
$$x_{38} = 2.99999961950292$$
$$x_{39} = 2.99999954914853$$
$$x_{40} = 2.99999953354209$$
$$x_{41} = 2.99999954603768$$
$$x_{42} = 2.99999954627576$$
$$x_{43} = 2.99999953177489$$
$$x_{44} = 2.99999955449204$$
$$x_{45} = 2.99999952949535$$
$$x_{46} = 2.99999956990169$$
$$x_{47} = 2.99999954534883$$
$$x_{48} = 2.99999954592641$$
$$x_{49} = 2.99999955869068$$
$$x_{50} = 2.99999953473733$$
$$x_{51} = 2.99999952889605$$
$$x_{52} = 2.99999953534017$$
$$x_{53} = 2.99999955534392$$
$$x_{54} = 2.99999954667762$$
$$x_{55} = 2.99999953212589$$
$$x_{56} = 2.99999954945387$$
$$x_{57} = 2.9999995327529$$
$$x_{58} = 2.99999952823045$$
$$x_{59} = 2.99999956194328$$
$$x_{60} = 2.99999955052305$$
$$x_{61} = 2.99999953139472$$
$$x_{62} = 2.99999952192198$$
$$x_{63} = 2.99999956665418$$
$$x_{64} = 2.99999958756359$$
$$x_{65} = 2.99999955094163$$
$$x_{66} = 2.99999954835101$$
$$x_{67} = 2.99999953098161$$
$$x_{68} = 2.99999952665083$$
$$x_{69} = 2.99999952020611$$
$$x_{70} = 2.99999956406132$$
$$x_{71} = 2.99999953489991$$
$$x_{72} = 2.99999954561991$$
$$x_{73} = 2.9999995357205$$
$$x_{74} = 2.99999956018056$$
$$x_{75} = 2.99999953594654$$
$$x_{76} = 2.99999953245097$$
$$x_{77} = 2.99999952462235$$
$$x_{78} = 2.99999959945817$$
$$x_{79} = 2.99999979189962$$
$$x_{80} = 2.99999952748689$$
$$x_{81} = 2.99999953303406$$
$$x_{82} = 2.99999953615377$$
$$x_{83} = 2.99999954769455$$
$$x_{84} = 2.99999955741483$$
$$x_{85} = 2.99999953605236$$
$$x_{86} = 2.99999953329652$$
$$x_{87} = 2.99999953003778$$
$$x_{88} = 2.99999954571781$$
$$x_{89} = 2.99999953377234$$
$$x_{90} = 2.99999954714477$$
$$x_{91} = 2.99999957408763$$
$$x_{92} = 2.99999954978277$$
$$x_{93} = 2.99999954543564$$
$$x_{94} = 2.99999954731783$$
$$x_{95} = 2.99999951250899$$
$$x_{96} = 2.99999954682533$$
$$x_{97} = 2.9999995513984$$
$$x_{98} = 2.99999952337542$$
$$x_{99} = 2.99999953505418$$
$$x_{100} = 2.99999955373522$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.99999954552593$$
$$x_{2} = 2.99999951814967$$
$$x_{3} = 2.99999953419232$$
$$x_{4} = 2.99999953456573$$
$$x_{5} = 2.99999948462017$$
$$x_{6} = 2.99999943035127$$
$$x_{7} = 2.99999957968753$$
$$x_{8} = 2.99999954615401$$
$$x_{9} = 2.99999953559961$$
$$x_{10} = 2.99999950849293$$
$$x_{11} = 2.99999932738052$$
$$x_{12} = 2.99999953520074$$
$$x_{13} = 2.99999946631169$$
$$x_{14} = 2.99999955189884$$
$$x_{15} = 2.99999954790008$$
$$x_{16} = 2.99999954811848$$
$$x_{17} = 2.99999954886431$$
$$x_{18} = 2.99999953438435$$
$$x_{19} = 2.99999954640332$$
$$x_{20} = 2.99999951564007$$
$$x_{21} = 2.99999955244951$$
$$x_{22} = 2.99999955013805$$
$$x_{23} = 2.99999954653712$$
$$x_{24} = 2.99999954581989$$
$$x_{25} = 2.99999953583603$$
$$x_{26} = 2.99999952570386$$
$$x_{27} = 2.99999955305839$$
$$x_{28} = 2.99999953053107$$
$$x_{29} = 2.99999949571348$$
$$x_{30} = 2.99999953398868$$
$$x_{31} = 2.9999995031549$$
$$x_{32} = 2.9999996604653$$
$$x_{33} = 2.9999995475008$$
$$x_{34} = 2.99999954698084$$
$$x_{35} = 2.99999954859908$$
$$x_{36} = 2.99999953547298$$
$$x_{37} = 2.99999955630998$$
$$x_{38} = 2.99999961950292$$
$$x_{39} = 2.99999954914853$$
$$x_{40} = 2.99999953354209$$
$$x_{41} = 2.99999954603768$$
$$x_{42} = 2.99999954627576$$
$$x_{43} = 2.99999953177489$$
$$x_{44} = 2.99999955449204$$
$$x_{45} = 2.99999952949535$$
$$x_{46} = 2.99999956990169$$
$$x_{47} = 2.99999954534883$$
$$x_{48} = 2.99999954592641$$
$$x_{49} = 2.99999955869068$$
$$x_{50} = 2.99999953473733$$
$$x_{51} = 2.99999952889605$$
$$x_{52} = 2.99999953534017$$
$$x_{53} = 2.99999955534392$$
$$x_{54} = 2.99999954667762$$
$$x_{55} = 2.99999953212589$$
$$x_{56} = 2.99999954945387$$
$$x_{57} = 2.9999995327529$$
$$x_{58} = 2.99999952823045$$
$$x_{59} = 2.99999956194328$$
$$x_{60} = 2.99999955052305$$
$$x_{61} = 2.99999953139472$$
$$x_{62} = 2.99999952192198$$
$$x_{63} = 2.99999956665418$$
$$x_{64} = 2.99999958756359$$
$$x_{65} = 2.99999955094163$$
$$x_{66} = 2.99999954835101$$
$$x_{67} = 2.99999953098161$$
$$x_{68} = 2.99999952665083$$
$$x_{69} = 2.99999952020611$$
$$x_{70} = 2.99999956406132$$
$$x_{71} = 2.99999953489991$$
$$x_{72} = 2.99999954561991$$
$$x_{73} = 2.9999995357205$$
$$x_{74} = 2.99999956018056$$
$$x_{75} = 2.99999953594654$$
$$x_{76} = 2.99999953245097$$
$$x_{77} = 2.99999952462235$$
$$x_{78} = 2.99999959945817$$
$$x_{79} = 2.99999979189962$$
$$x_{80} = 2.99999952748689$$
$$x_{81} = 2.99999953303406$$
$$x_{82} = 2.99999953615377$$
$$x_{83} = 2.99999954769455$$
$$x_{84} = 2.99999955741483$$
$$x_{85} = 2.99999953605236$$
$$x_{86} = 2.99999953329652$$
$$x_{87} = 2.99999953003778$$
$$x_{88} = 2.99999954571781$$
$$x_{89} = 2.99999953377234$$
$$x_{90} = 2.99999954714477$$
$$x_{91} = 2.99999957408763$$
$$x_{92} = 2.99999954978277$$
$$x_{93} = 2.99999954543564$$
$$x_{94} = 2.99999954731783$$
$$x_{95} = 2.99999951250899$$
$$x_{96} = 2.99999954682533$$
$$x_{97} = 2.9999995513984$$
$$x_{98} = 2.99999952337542$$
$$x_{99} = 2.99999953505418$$
$$x_{100} = 2.99999955373522$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 6}{x - 4} - \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 6}{x - 4} - \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)
(5, 4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, 5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(x - 3\right)}{x - 4} + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(x - 3\right)}{x - 4} + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)^2/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = \frac{\left(- x - 3\right)^{2}}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = - \frac{\left(- x - 3\right)^{2}}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = \frac{\left(- x - 3\right)^{2}}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x - 4} = - \frac{\left(- x - 3\right)^{2}}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar