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sin(3*x)^log(2*x)

Gráfico de la función y = sin(3*x)^log(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          log(2*x)     
f(x) = sin        (3*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)}$$
f = sin(3*x)^log(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 68.0671102149601$$
$$x_{2} = 21.991184542681$$
$$x_{3} = 8.37756573264964$$
$$x_{4} = 43.9824205719828$$
$$x_{5} = 6.28318413668094$$
$$x_{6} = 72.2565619506161$$
$$x_{7} = 74.3499725465632$$
$$x_{8} = 87.9651123316488$$
$$x_{9} = 4.18879037709386$$
$$x_{10} = 90.0581250314973$$
$$x_{11} = 26.1801349545924$$
$$x_{12} = 30.3683446211993$$
$$x_{13} = 28.2742596272157$$
$$x_{14} = 94.2478095460037$$
$$x_{15} = 41.8885863262064$$
$$x_{16} = 52.3591072967628$$
$$x_{17} = 50.2653751211829$$
$$x_{18} = 96.3409333547295$$
$$x_{19} = 2.09439510239411$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(3*x)^log(2*x).
$$\sin^{\log{\left(0 \cdot 2 \right)}}{\left(0 \cdot 3 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{3 \log{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right) \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 28.2743267866148$$
$$x_{2} = 36.1283155162826$$
$$x_{3} = 82.2050077689329$$
$$x_{4} = 72.2566127830002$$
$$x_{5} = -53.9306738866248$$
$$x_{6} = -95.8185759344887$$
$$x_{7} = -51.8362787842316$$
$$x_{8} = 43.9823196661559$$
$$x_{9} = 4.18879020478639$$
$$x_{10} = 78.0162175641465$$
$$x_{11} = -97.9129710368819$$
$$x_{12} = -100.007366139275$$
$$x_{13} = -49.7418836818384$$
$$x_{14} = -3.66519142918809$$
$$x_{15} = 87.9647550343645$$
$$x_{16} = -5.75958653158129$$
$$x_{17} = 76.445245029335$$
$$x_{18} = 34.0339204138894$$
$$x_{19} = -56.025068989018$$
$$x_{20} = -93.7241808320955$$
$$x_{21} = -7.85398163397448$$
$$x_{22} = -12.0427718387609$$
$$x_{23} = 38.2227106186758$$
$$x_{24} = 80.1106126665397$$
$$x_{25} = -9.94837673636768$$
Signos de extremos en los puntos:
(28.274326786614793, 1.40758535654495e-19)

(36.12831551628262, 1)

(82.20500776893293, 1)

(72.25661278300021, 6.38780396787081e-22)

                        4.68084658541093 + pi*I 
(-53.93067388662478, 1                       )

                        5.25560375002271 + pi*I 
(-95.81857593448869, 1                       )

                        4.64123744731588 + pi*I 
(-51.83627878423159, 1                       )

(43.98231966615585, 2.13519651899927e-19)

(4.188790204786391, 2.23443923223586e-32)

(78.01621756414653, 1)

                        5.27722621403588 + pi*I 
(-97.91297103688188, 1                       )

                         5.29839102522792 + pi*I 
(-100.00736613927508, 1                       )

                         4.59999448878183 + pi*I 
(-49.741883681838395, 1                       )

                         1.9920277462366 + pi*I 
(-3.6651914291880923, 1                      )

(87.96475503436453, 7.1123833809748e-18)

                        2.44401286997966 + pi*I 
(-5.759586531581288, 1                       )

(76.44524502933504, 3.29867964564761e-17)

(34.033920413889426, 1)

                        4.7189464316432 + pi*I 
(-56.02506898901798, 1                      )

                       5.23350340302205 + pi*I 
(-93.7241808320955, 1                       )

                        2.7541677982835 + pi*I 
(-7.853981633974483, 1                      )

                         3.18161181311044 + pi*I 
(-12.042771838760874, 1                       )

(38.22271061867582, 1)

(80.11061266653972, 1)

                       2.99055657634773 + pi*I 
(-9.94837673636768, 1                       )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4.18879020478639$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 36.1283155162826$$
$$x_{1} = 82.2050077689329$$
$$x_{1} = -53.9306738866248$$
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{1} = -51.8362787842316$$
$$x_{1} = 78.0162175641465$$
$$x_{1} = -97.9129710368819$$
$$x_{1} = -100.007366139275$$
$$x_{1} = -49.7418836818384$$
$$x_{1} = -3.66519142918809$$
$$x_{1} = -5.75958653158129$$
$$x_{1} = 34.0339204138894$$
$$x_{1} = -56.025068989018$$
$$x_{1} = -93.7241808320955$$
$$x_{1} = -7.85398163397448$$
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{1} = 38.2227106186758$$
$$x_{1} = 80.1106126665397$$
$$x_{1} = -9.94837673636768$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.007366139275\right] \cup \left[4.18879020478639, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.18879020478639\right] \cup \left[82.2050077689329, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\left(\frac{3 \log{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right)^{2} - 9 \log{\left(2 x \right)} - \frac{9 \log{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{6 \cos{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(3 x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 82.0521298489417$$
$$x_{2} = 32.1103656492247$$
$$x_{3} = 86.2417158291734$$
$$x_{4} = 28.2743338629513$$
$$x_{5} = 80.2638942784329$$
$$x_{6} = 40.1512315222894$$
$$x_{7} = 43.9822977616762$$
$$x_{8} = 42.246662982407$$
$$x_{9} = 78.1699314504743$$
$$x_{10} = 2.30965349588564$$
$$x_{11} = 34.2033492423536$$
$$x_{12} = 38.055723087488$$
$$x_{13} = 84.146929349618$$
$$x_{14} = 72.2566294494569$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[80.2638942784329, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 32.1103656492247\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3*x)^log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = \left(- \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}}$$
- No
$$\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = - \left(- \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(3*x)^log(2*x)