Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\frac{3 \log{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right) \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 28.2743267866148$$
$$x_{2} = 36.1283155162826$$
$$x_{3} = 82.2050077689329$$
$$x_{4} = 72.2566127830002$$
$$x_{5} = -53.9306738866248$$
$$x_{6} = -95.8185759344887$$
$$x_{7} = -51.8362787842316$$
$$x_{8} = 43.9823196661559$$
$$x_{9} = 4.18879020478639$$
$$x_{10} = 78.0162175641465$$
$$x_{11} = -97.9129710368819$$
$$x_{12} = -100.007366139275$$
$$x_{13} = -49.7418836818384$$
$$x_{14} = -3.66519142918809$$
$$x_{15} = 87.9647550343645$$
$$x_{16} = -5.75958653158129$$
$$x_{17} = 76.445245029335$$
$$x_{18} = 34.0339204138894$$
$$x_{19} = -56.025068989018$$
$$x_{20} = -93.7241808320955$$
$$x_{21} = -7.85398163397448$$
$$x_{22} = -12.0427718387609$$
$$x_{23} = 38.2227106186758$$
$$x_{24} = 80.1106126665397$$
$$x_{25} = -9.94837673636768$$
Signos de extremos en los puntos:
(28.274326786614793, 1.40758535654495e-19)
(36.12831551628262, 1)
(82.20500776893293, 1)
(72.25661278300021, 6.38780396787081e-22)
4.68084658541093 + pi*I
(-53.93067388662478, 1 )
5.25560375002271 + pi*I
(-95.81857593448869, 1 )
4.64123744731588 + pi*I
(-51.83627878423159, 1 )
(43.98231966615585, 2.13519651899927e-19)
(4.188790204786391, 2.23443923223586e-32)
(78.01621756414653, 1)
5.27722621403588 + pi*I
(-97.91297103688188, 1 )
5.29839102522792 + pi*I
(-100.00736613927508, 1 )
4.59999448878183 + pi*I
(-49.741883681838395, 1 )
1.9920277462366 + pi*I
(-3.6651914291880923, 1 )
(87.96475503436453, 7.1123833809748e-18)
2.44401286997966 + pi*I
(-5.759586531581288, 1 )
(76.44524502933504, 3.29867964564761e-17)
(34.033920413889426, 1)
4.7189464316432 + pi*I
(-56.02506898901798, 1 )
5.23350340302205 + pi*I
(-93.7241808320955, 1 )
2.7541677982835 + pi*I
(-7.853981633974483, 1 )
3.18161181311044 + pi*I
(-12.042771838760874, 1 )
(38.22271061867582, 1)
(80.11061266653972, 1)
2.99055657634773 + pi*I
(-9.94837673636768, 1 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4.18879020478639$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 36.1283155162826$$
$$x_{1} = 82.2050077689329$$
$$x_{1} = -53.9306738866248$$
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{1} = -51.8362787842316$$
$$x_{1} = 78.0162175641465$$
$$x_{1} = -97.9129710368819$$
$$x_{1} = -100.007366139275$$
$$x_{1} = -49.7418836818384$$
$$x_{1} = -3.66519142918809$$
$$x_{1} = -5.75958653158129$$
$$x_{1} = 34.0339204138894$$
$$x_{1} = -56.025068989018$$
$$x_{1} = -93.7241808320955$$
$$x_{1} = -7.85398163397448$$
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{1} = 38.2227106186758$$
$$x_{1} = 80.1106126665397$$
$$x_{1} = -9.94837673636768$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.007366139275\right] \cup \left[4.18879020478639, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.18879020478639\right] \cup \left[82.2050077689329, \infty\right)$$