Sr Examen

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x^2/e^x
Trazado el gráfico de la función/ x^2/e^x

Gráfico de la función y = x^2/e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2
       x 
f(x) = --
        x
       E
f(x)=x2exf{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{e^{x}} 
f = x^2/E^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2ex=0\frac{x^{2}}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=107.628899840344x_{1} = 107.628899840344
x2=115.593756384128x_{2} = 115.593756384128
x3=93.707404744577x_{3} = 93.707404744577
x4=44.6050925906729x_{4} = 44.6050925906729
x5=87.7502050583631x_{5} = 87.7502050583631
x6=109.619562634492x_{6} = 109.619562634492
x7=64.0255739002577x_{7} = 64.0255739002577
x8=58.1423474863896x_{8} = 58.1423474863896
x9=71.9081118282112x_{9} = 71.9081118282112
x10=105.638644821409x_{10} = 105.638644821409
x11=75.8609058011359x_{11} = 75.8609058011359
x12=48.4320998819442x_{12} = 48.4320998819442
x13=62.0611807434853x_{13} = 62.0611807434853
x14=40.5820728530031x_{14} = 40.5820728530031
x15=91.720934730719x_{15} = 91.720934730719
x16=42.7114678029016x_{16} = 42.7114678029016
x17=46.5128714785856x_{17} = 46.5128714785856
x18=79.8194870788507x_{18} = 79.8194870788507
x19=119.578180845004x_{19} = 119.578180845004
x20=54.2402420845623x_{20} = 54.2402420845623
x21=67.9624187188197x_{21} = 67.9624187188197
x22=95.6945389638031x_{22} = 95.6945389638031
x23=117.585818346237x_{23} = 117.585818346237
x24=81.8006238116621x_{24} = 81.8006238116621
x25=89.7351819043081x_{25} = 89.7351819043081
x26=99.6706130283057x_{26} = 99.6706130283057
x27=65.9927593677372x_{27} = 65.9927593677372
x28=56.1888924840258x_{28} = 56.1888924840258
x29=50.3607330233137x_{29} = 50.3607330233137
x30=101.659470122749x_{30} = 101.659470122749
x31=60.0999560358985x_{31} = 60.0999560358985
x32=121.570827102163x_{32} = 121.570827102163
x33=40.8356618339334x_{33} = 40.8356618339334
x34=35.379255492682x_{34} = 35.379255492682
x35=37.1602455397125x_{35} = 37.1602455397125
x36=73.8837117221529x_{36} = 73.8837117221529
x37=52.2971932633301x_{37} = 52.2971932633301
x38=38.9827879874711x_{38} = 38.9827879874711
x39=85.7660696193442x_{39} = 85.7660696193442
x40=83.7828486140689x_{40} = 83.7828486140689
x41=97.6822895145426x_{41} = 97.6822895145426
x42=0x_{42} = 0
x43=103.648824952827x_{43} = 103.648824952827
x44=77.8395419968606x_{44} = 77.8395419968606
x45=111.610608082484x_{45} = 111.610608082484
x46=69.9342805013838x_{46} = 69.9342805013838
x47=113.602013088993x_{47} = 113.602013088993
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/E^x.
02e0\frac{0^{2}}{e^{0}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2e−x+2xe−x=0- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

       -2 
(2, 4*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x2−4x+2)e−x=0\left(x^{2} - 4 x + 2\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−2x_{1} = 2 - \sqrt{2}
x2=2+2x_{2} = \sqrt{2} + 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2−2]∪[2+2,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2−2,2+2]\left[2 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2ex)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2ex)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xe−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{- x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xe−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2ex=x2ex\frac{x^{2}}{e^{x}} = x^{2} e^{x}
- No
x2ex=−x2ex\frac{x^{2}}{e^{x}} = - x^{2} e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2/e^x
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