Sr Examen

Otras calculadoras

x(x-1)^2
Trazado el gráfico de la función/ x(x-1)^2

Gráfico de la función y = x(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2
f(x) = x*(x - 1)
f(x)=x(x−1)2f{\left(x \right)} = x \left(x - 1\right)^{2} 
f = x*(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−1)2=0x \left(x - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(x - 1)^2.
0(−1)20 \left(-1\right)^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(2x−2)+(x−1)2=0x \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 4/27)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13]∪[1,∞)\left(-\infty, \frac{1}{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[13,1]\left[\frac{1}{3}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−2)=02 \left(3 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23,∞)\left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,23]\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1)2=∞\lim_{x \to -\infty} \left(x - 1\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x−1)2=∞\lim_{x \to \infty} \left(x - 1\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−1)2=−x(−x−1)2x \left(x - 1\right)^{2} = - x \left(- x - 1\right)^{2}
- No
x(x−1)2=x(−x−1)2x \left(x - 1\right)^{2} = x \left(- x - 1\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x(x-1)^2
    © Sr Examen – Калькулятор