Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin^2*(x+2)-x^2-4*x-4

Gráfico de la función y = sin^2*(x+2)-x^2-4*x-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2           2          
f(x) = sin (x + 2) - x  - 4*x - 4
f(x)=(−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4f{\left(x \right)} = \left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4 
f = -4*x - x^2 + sin(x + 2)^2 - 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4=0\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x + 2)^2 - x^2 - 4*x - 4.
−4+(−0+(−02+sin⁡2(2)))-4 + \left(- 0 + \left(- 0^{2} + \sin^{2}{\left(2 \right)}\right)\right)
Resultado:
f(0)=−4+sin⁡2(2)f{\left(0 \right)} = -4 + \sin^{2}{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -4 + sin(2)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+2sin⁡(x+2)cos⁡(x+2)−4=0- 2 x + 2 \sin{\left(x + 2 \right)} \cos{\left(x + 2 \right)} - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.9999121449195x_{1} = -1.9999121449195
x2=−2.00001052487695x_{2} = -2.00001052487695
x3=−2.00007147883503x_{3} = -2.00007147883503
x4=−1.99998687669521x_{4} = -1.99998687669521
x5=−2.00005878581275x_{5} = -2.00005878581275
x6=−1.99990548581427x_{6} = -1.99990548581427
x7=−2.00002109783811x_{7} = -2.00002109783811
x8=−2.00009739346503x_{8} = -2.00009739346503
x9=−2.00000470482765x_{9} = -2.00000470482765
x10=−2.00008678363518x_{10} = -2.00008678363518
x11=−2.00004483255936x_{11} = -2.00004483255936
x12=−2.00003539509478x_{12} = -2.00003539509478
x13=−2.00003226001217x_{13} = -2.00003226001217
x14=−2.00000846656864x_{14} = -2.00000846656864
x15=−1.99998377080983x_{15} = -1.99998377080983
x16=−2.00003408735647x_{16} = -2.00003408735647
x17=−2.00001828091x_{17} = -2.00001828091
x18=−2x_{18} = -2
x19=−1.99999100256497x_{19} = -1.99999100256497
x20=−2.00005248398739x_{20} = -2.00005248398739
x21=−2.00001782316106x_{21} = -2.00001782316106
x22=−2.000023931073x_{22} = -2.000023931073
x23=−1.99992421363759x_{23} = -1.99992421363759
x24=−1.99992170121869x_{24} = -1.99992170121869
x25=−1.99997362091405x_{25} = -1.99997362091405
x26=−2.00006430721493x_{26} = -2.00006430721493
x27=−2.00001618157658x_{27} = -2.00001618157658
x28=−2.0000184929907x_{28} = -2.0000184929907
x29=−2.00000820276405x_{29} = -2.00000820276405
x30=−1.99990881759208x_{30} = -1.99990881759208
x31=−2.0000439494647x_{31} = -2.0000439494647
x32=−1.99995663857177x_{32} = -1.99995663857177
x33=−2.00003226001507x_{33} = -2.00003226001507
x34=−2.00000730729472x_{34} = -2.00000730729472
x35=−2.0000132669007x_{35} = -2.0000132669007
x36=−2.00000939742299x_{36} = -2.00000939742299
Signos de extremos en los puntos:
(-1.9999121449194972, 0)

(-2.000010524876953, 0)

(-2.0000714788350336, 0)

(-1.999986876695212, 0)

(-2.000058785812752, 0)

(-1.999905485814267, 0)

(-2.0000210978381125, 0)

(-2.0000973934650266, 0)

(-2.0000047048276475, 0)

(-2.0000867836351808, 0)

(-2.0000448325593645, 0)

(-2.0000353950947822, 0)

(-2.000032260012166, 0)

(-2.000008466568645, 0)

(-1.9999837708098345, 0)

(-2.000034087356475, 0)

(-2.0000182809099982, 0)

(-2, 0)

(-1.9999910025649714, 0)

(-2.000052483987393, 0)

(-2.000017823161057, 0)

(-2.000023931073003, 0)

(-1.9999242136375892, 0)

(-1.99992170121869, 0)

(-1.9999736209140535, 0)

(-2.000064307214929, 0)

(-2.000016181576582, 0)

(-2.000018492990697, 0)

(-2.0000082027640538, 0)

(-1.9999088175920772, 0)

(-2.000043949464702, 0)

(-1.9999566385717673, 0)

(-2.000032260015071, 0)

(-2.000007307294716, 0)

(-2.0000132669006976, 0)

(-2.0000093974229882, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(x+2)+cos⁡2(x+2)−1)=02 \left(- \sin^{2}{\left(x + 2 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 2 \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x + 2)^2 - x^2 - 4*x - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4=−x2+4x+sin⁡2(x−2)−4\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4 = - x^{2} + 4 x + \sin^{2}{\left(x - 2 \right)} - 4
- No
(−4x+(−x2+sin⁡2(x+2)))−4=x2−4x−sin⁡2(x−2)+4\left(- 4 x + \left(- x^{2} + \sin^{2}{\left(x + 2 \right)}\right)\right) - 4 = x^{2} - 4 x - \sin^{2}{\left(x - 2 \right)} + 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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