Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-1-log(x))/x^3

Gráfico de la función y = (-1-log(x))/x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -1 - log(x)
f(x) = -----------
             3    
            x
f(x)=−log⁡(x)−1x3f{\left(x \right)} = \frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} 
f = (-log(x) - 1)/x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(x)−1x3=0\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Solución numérica
x1=25042.073488896x_{1} = 25042.073488896
x2=51957.1867188495x_{2} = 51957.1867188495
x3=22948.7477293073x_{3} = 22948.7477293073
x4=47842.9520077417x_{4} = 47842.9520077417
x5=34412.2131240524x_{5} = 34412.2131240524
x6=27130.9065931775x_{6} = 27130.9065931775
x7=48872.2124221205x_{7} = 48872.2124221205
x8=52984.6153888935x_{8} = 52984.6153888935
x9=23996.003274813x_{9} = 23996.003274813
x10=21900.2363398814x_{10} = 21900.2363398814
x11=37520.9181898502x_{11} = 37520.9181898502
x12=40623.6128191221x_{12} = 40623.6128191221
x13=32336.0615032356x_{13} = 32336.0615032356
x14=20850.39061241x_{14} = 20850.39061241
x15=50929.3176331648x_{15} = 50929.3176331648
x16=45782.9502317833x_{16} = 45782.9502317833
x17=33374.5247048946x_{17} = 33374.5247048946
x18=49900.9968190764x_{18} = 49900.9968190764
x19=41656.6122182958x_{19} = 41656.6122182958
x20=35449.1566049701x_{20} = 35449.1566049701
x21=30256.6798866839x_{21} = 30256.6798866839
x22=26087.0220233627x_{22} = 26087.0220233627
x23=38555.7865991016x_{23} = 38555.7865991016
x24=43720.8787098543x_{24} = 43720.8787098543
x25=29215.6894966489x_{25} = 29215.6894966489
x26=36485.3829654246x_{26} = 36485.3829654246
x27=44752.1807014937x_{27} = 44752.1807014937
x28=28173.7797442811x_{28} = 28173.7797442811
x29=39590.0110002333x_{29} = 39590.0110002333
x30=46813.2025192634x_{30} = 46813.2025192634
x31=42689.0282019536x_{31} = 42689.0282019536
x32=31296.7914276997x_{32} = 31296.7914276997
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 - log(x))/x^3.
−log⁡(0)−103\frac{- \log{\left(0 \right)} - 1}{0^{3}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1xx3−3(−log⁡(x)−1)x4=0- \frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−23x_{1} = e^{- \frac{2}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
          2  
  -2/3  -e   
(e   , ----)
         3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−23x_{1} = e^{- \frac{2}{3}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−23,∞)\left[e^{- \frac{2}{3}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−23]\left(-\infty, e^{- \frac{2}{3}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−12log⁡(x)−5x5=0\frac{- 12 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−512x_{1} = e^{- \frac{5}{12}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−12log⁡(x)−5x5)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 12 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{5}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−12log⁡(x)−5x5)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 12 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{5}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−512]\left(-\infty, e^{- \frac{5}{12}}\right]
Convexa en los intervalos
[e−512,∞)\left[e^{- \frac{5}{12}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x)−1x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−log⁡(x)−1x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 - log(x))/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x)−1xx3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(x)−1xx3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(x)−1x3=−−log⁡(−x)−1x3\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x^{3}}
- No
−log⁡(x)−1x3=−log⁡(−x)−1x3\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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