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Trazado el gráfico de la función/ 2x^2-5x+lnx-3

Gráfico de la función y = 2x^2-5x+lnx-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2                   
f(x) = 2*x  - 5*x + log(x) - 3
f(x)=((2x2−5x)+log⁡(x))−3f{\left(x \right)} = \left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3 
f = 2*x^2 - 5*x + log(x) - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((2x2−5x)+log⁡(x))−3=0\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2.84372001025626x_{1} = 2.84372001025626
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^2 - 5*x + log(x) - 3.
(log⁡(0)+(2⋅02−0))−3\left(\log{\left(0 \right)} + \left(2 \cdot 0^{2} - 0\right)\right) - 3
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x−5+1x=04 x - 5 + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1/4, -33/8 - log(4))

(1, -6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,14]∪[1,∞)\left(-\infty, \frac{1}{4}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4−1x2=04 - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−12]∪[12,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−12,12]\left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((2x2−5x)+log⁡(x))−3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((2x2−5x)+log⁡(x))−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^2 - 5*x + log(x) - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((2x2−5x)+log⁡(x))−3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((2x2−5x)+log⁡(x))−3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((2x2−5x)+log⁡(x))−3=2x2+5x+log⁡(−x)−3\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3 = 2 x^{2} + 5 x + \log{\left(- x \right)} - 3
- No
((2x2−5x)+log⁡(x))−3=−2x2−5x−log⁡(−x)+3\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + \log{\left(x \right)}\right) - 3 = - 2 x^{2} - 5 x - \log{\left(- x \right)} + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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