Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos((x+pi)/4)-1

Gráfico de la función y = cos((x+pi)/4)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + pi\    
f(x) = cos|------| - 1
          \  4   /
f(x)=cos⁡(x+π4)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1 
f = cos((x + pi)/4) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π4)−1=0\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=7πx_{2} = 7 \pi
Solución numérica
x1=−3.14159383006953x_{1} = -3.14159383006953
x2=72.2566318788299x_{2} = 72.2566318788299
x3=−78.5398177408664x_{3} = -78.5398177408664
x4=−28.2743324282563x_{4} = -28.2743324282563
x5=21.9911469952148x_{5} = 21.9911469952148
x6=−28.274338935394x_{6} = -28.274338935394
x7=−28.2743321275734x_{7} = -28.2743321275734
x8=21.991154189523x_{8} = 21.991154189523
x9=21.9911448073251x_{9} = 21.9911448073251
x10=−103.672559322976x_{10} = -103.672559322976
x11=−53.4070765037245x_{11} = -53.4070765037245
x12=21.9911467826204x_{12} = 21.9911467826204
x13=−3.14159066703545x_{13} = -3.14159066703545
x14=72.256633066684x_{14} = 72.256633066684
x15=47.1238890960547x_{15} = 47.1238890960547
x16=−28.2743318189218x_{16} = -28.2743318189218
x17=47.1238879198977x_{17} = 47.1238879198977
x18=8139.86656510072x_{18} = 8139.86656510072
x19=−28.2743353753204x_{19} = -28.2743353753204
x20=72.2566310277172x_{20} = 72.2566310277172
x21=72.2566289094197x_{21} = 72.2566289094197
x22=47.1238893682042x_{22} = 47.1238893682042
x23=72.2566326324851x_{23} = 72.2566326324851
x24=−3.14159375810549x_{24} = -3.14159375810549
x25=−3.14159296681419x_{25} = -3.14159296681419
x26=97.389370885462x_{26} = 97.389370885462
x27=97.3893721068933x_{27} = 97.3893721068933
x28=−78.5398142810183x_{28} = -78.5398142810183
x29=72.2566347868398x_{29} = 72.2566347868398
x30=21.9911506864752x_{30} = 21.9911506864752
x31=21.9911495333853x_{31} = 21.9911495333853
x32=−103.672555541645x_{32} = -103.672555541645
x33=−3.14159250467346x_{33} = -3.14159250467346
x34=47.123888525652x_{34} = 47.123888525652
x35=−3.14159447715332x_{35} = -3.14159447715332
x36=−3.14159070339079x_{36} = -3.14159070339079
x37=−28.2743345873237x_{37} = -28.2743345873237
x38=−78.5398151668605x_{38} = -78.5398151668605
x39=−28.2743358735612x_{39} = -28.2743358735612
x40=−53.4070752984459x_{40} = -53.4070752984459
x41=−78.5398151517367x_{41} = -78.5398151517367
x42=−128.805305003568x_{42} = -128.805305003568
x43=72.2566300998441x_{43} = 72.2566300998441
x44=47.1238902666794x_{44} = 47.1238902666794
x45=−53.4070771673643x_{45} = -53.4070771673643
x46=97.3893734617364x_{46} = 97.3893734617364
x47=−757.123834111091x_{47} = -757.123834111091
x48=−3.14159207076295x_{48} = -3.14159207076295
x49=−78.5398163114628x_{49} = -78.5398163114628
x50=−53.4070736207379x_{50} = -53.4070736207379
x51=−103.672555990926x_{51} = -103.672555990926
x52=−53.4070761820751x_{52} = -53.4070761820751
x53=−53.4070731912959x_{53} = -53.4070731912959
x54=−53.4070744104623x_{54} = -53.4070744104623
x55=47.1238905077539x_{55} = 47.1238905077539
x56=21.9911477549563x_{56} = 21.9911477549563
x57=47.1238917026787x_{57} = 47.1238917026787
x58=−53.4070757473989x_{58} = -53.4070757473989
x59=21.9911502245891x_{59} = 21.9911502245891
x60=72.2566289869004x_{60} = 72.2566289869004
x61=−3.14159470276401x_{61} = -3.14159470276401
x62=−706.858345905212x_{62} = -706.858345905212
x63=−3647.38907316924x_{63} = -3647.38907316924
x64=21.9911485852088x_{64} = 21.9911485852088
x65=47.1238918341433x_{65} = 47.1238918341433
x66=97.3893726016239x_{66} = 97.3893726016239
x67=−53.407076867141x_{67} = -53.407076867141
x68=−78.5398182890653x_{68} = -78.5398182890653
x69=21.9911465514132x_{69} = 21.9911465514132
x70=−28.2743328150664x_{70} = -28.2743328150664
x71=−3.14159125549584x_{71} = -3.14159125549584
x72=−28.2743357780456x_{72} = -28.2743357780456
x73=−78.5398145169975x_{73} = -78.5398145169975
x74=−78.5398160326333x_{74} = -78.5398160326333
x75=21.9911506297789x_{75} = 21.9911506297789
x76=−53.4070731178921x_{76} = -53.4070731178921
x77=21.9911502554244x_{77} = 21.9911502554244
x78=−28.2743337039516x_{78} = -28.2743337039516
x79=−103.672555744213x_{79} = -103.672555744213
x80=47.1238911052008x_{80} = 47.1238911052008
x81=72.2566293711688x_{81} = 72.2566293711688
x82=97.3893717054584x_{82} = 97.3893717054584
x83=47.1238877779901x_{83} = 47.1238877779901
x84=−53.4070705230011x_{84} = -53.4070705230011
x85=97.3893702778698x_{85} = 97.3893702778698
x86=97.3893703246335x_{86} = 97.3893703246335
x87=72.2566293825787x_{87} = 72.2566293825787
x88=−78.5398183081238x_{88} = -78.5398183081238
x89=−28.2743329935772x_{89} = -28.2743329935772
x90=72.2566328255686x_{90} = 72.2566328255686
x91=−78.5398169272729x_{91} = -78.5398169272729
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos((x + pi)/4) - 1.
−1+cos⁡(π4)-1 + \cos{\left(\frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=−1+22f{\left(0 \right)} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, -1 + sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π4)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, 0)

(3*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=−πx_{1} = - \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,−π]∪[3π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π,3π]\left[- \pi, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π4)16=0- \frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,5π]\left[\pi, 5 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[5π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π4)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π4)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos((x + pi)/4) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π4)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π4)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π4)−1=sin⁡(x4+π4)−1\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1 = \sin{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} - 1
- No
cos⁡(x+π4)−1=1−sin⁡(x4+π4)\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} - 1 = 1 - \sin{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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