Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (4*x^2+1)*(sin(x)-3*x)

Gráfico de la función y = (4*x^2+1)*(sin(x)-3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /   2    \               
f(x) = \4*x  + 1/*(sin(x) - 3*x)
f(x)=(−3x+sin⁡(x))(4x2+1)f{\left(x \right)} = \left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) 
f = (-3*x + sin(x))*(4*x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3x+sin⁡(x))(4x2+1)=0\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x^2 + 1)*(sin(x) - 3*x).
(4⋅02+1)(sin⁡(0)−0)\left(4 \cdot 0^{2} + 1\right) \left(\sin{\left(0 \right)} - 0\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x(−3x+sin⁡(x))+(4x2+1)(cos⁡(x)−3)=08 x \left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) + \left(4 x^{2} + 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16x(cos⁡(x)−3)−24x−(4x2+1)sin⁡(x)+8sin⁡(x)=016 x \left(\cos{\left(x \right)} - 3\right) - 24 x - \left(4 x^{2} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−78.8206989968x_{1} = -78.8206989968
x2=87.8038326385998x_{2} = 87.8038326385998
x3=30.9282248698152x_{3} = 30.9282248698152
x4=−81.5079974024353x_{4} = -81.5079974024353
x5=103.885094336418x_{5} = 103.885094336418
x6=94.0979324253178x_{6} = 94.0979324253178
x7=−35.2045328488481x_{7} = -35.2045328488481
x8=23.0455822717581x_{8} = 23.0455822717581
x9=91.3481526048423x_{9} = 91.3481526048423
x10=24.4801588379355x_{10} = 24.4801588379355
x11=75.2099706756508x_{11} = 75.2099706756508
x12=35.2045328488481x_{12} = 35.2045328488481
x13=−30.9282248698152x_{13} = -30.9282248698152
x14=−72.5620960019177x_{14} = -72.5620960019177
x15=−23.0455822717581x_{15} = -23.0455822717581
x16=−60.0606261348886x_{16} = -60.0606261348886
x17=−49.977927314077x_{17} = -49.977927314077
x18=53.8215493164047x_{18} = 53.8215493164047
x19=43.6501870049194x_{19} = 43.6501870049194
x20=47.5945236040652x_{20} = 47.5945236040652
x21=−85.0829736500492x_{21} = -85.0829736500492
x22=0x_{22} = 0
x23=−91.3481526048423x_{23} = -91.3481526048423
x24=100.390633569853x_{24} = 100.390633569853
x25=37.3050006534004x_{25} = 37.3050006534004
x26=85.0829736500492x_{26} = 85.0829736500492
x27=−37.3050006534004x_{27} = -37.3050006534004
x28=−53.8215493164047x_{28} = -53.8215493164047
x29=−100.390633569853x_{29} = -100.390633569853
x30=−56.2948451774919x_{30} = -56.2948451774919
x31=−97.6156688798395x_{31} = -97.6156688798395
x32=−47.5945236040652x_{32} = -47.5945236040652
x33=97.6156688798395x_{33} = 97.6156688798395
x34=29.0732148790809x_{34} = 29.0732148790809
x35=78.8206989968x_{35} = 78.8206989968
x36=−66.3082300665959x_{36} = -66.3082300665959
x37=66.3082300665959x_{37} = 66.3082300665959
x38=49.977927314077x_{38} = 49.977927314077
x39=−29.0732148790809x_{39} = -29.0732148790809
x40=−87.8038326385998x_{40} = -87.8038326385998
x41=−41.3853706991217x_{41} = -41.3853706991217
x42=−24.4801588379355x_{42} = -24.4801588379355
x43=68.9091183344345x_{43} = 68.9091183344345
x44=41.3853706991217x_{44} = 41.3853706991217
x45=−43.6501870049194x_{45} = -43.6501870049194
x46=−94.0979324253178x_{46} = -94.0979324253178
x47=−68.9091183344345x_{47} = -68.9091183344345
x48=−62.6045298836481x_{48} = -62.6045298836481
x49=56.2948451774919x_{49} = 56.2948451774919
x50=72.5620960019177x_{50} = 72.5620960019177
x51=81.5079974024353x_{51} = 81.5079974024353
x52=62.6045298836481x_{52} = 62.6045298836481
x53=−75.2099706756508x_{53} = -75.2099706756508
x54=60.0606261348886x_{54} = 60.0606261348886

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[103.885094336418,∞)\left[103.885094336418, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−97.6156688798395]\left(-\infty, -97.6156688798395\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+sin⁡(x))(4x2+1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+sin⁡(x))(4x2+1))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 + 1)*(sin(x) - 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+sin⁡(x))(4x2+1)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+sin⁡(x))(4x2+1)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3x+sin⁡(x))(4x2+1)=(3x−sin⁡(x))(4x2+1)\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) = \left(3 x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)
- No
(−3x+sin⁡(x))(4x2+1)=−(3x−sin⁡(x))(4x2+1)\left(- 3 x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) = - \left(3 x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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