Sr Examen

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log(-cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ log(-cos(x))

Gráfico de la función y = log(-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(-cos(x))
f(x)=log⁡(−cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = log(-cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(−cos⁡(x))=0\log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=−59.690260391105x_{1} = -59.690260391105
x2=−65.9734457648386x_{2} = -65.9734457648386
x3=59.6902599988118x_{3} = 59.6902599988118
x4=3.14159236458576x_{4} = 3.14159236458576
x5=−40.8407039100223x_{5} = -40.8407039100223
x6=−28.2743336970608x_{6} = -28.2743336970608
x7=−53.4070753064322x_{7} = -53.4070753064322
x8=3.1415932585699x_{8} = 3.1415932585699
x9=84.823002805596x_{9} = 84.823002805596
x10=28.2743338651582x_{10} = 28.2743338651582
x11=−21.9911486223098x_{11} = -21.9911486223098
x12=−47.1238901689402x_{12} = -47.1238901689402
x13=91.1061876923931x_{13} = 91.1061876923931
x14=−84.823002057095x_{14} = -84.823002057095
x15=−9.42477771481239x_{15} = -9.42477771481239
x16=−28.2743342244749x_{16} = -28.2743342244749
x17=−84.823001441919x_{17} = -84.823001441919
x18=−65.9734457642993x_{18} = -65.9734457642993
x19=−34.5575202359721x_{19} = -34.5575202359721
x20=9.42477832891555x_{20} = 9.42477832891555
x21=15.7079634632083x_{21} = 15.7079634632083
x22=−34.5575188333352x_{22} = -34.5575188333352
x23=3.14159329215353x_{23} = 3.14159329215353
x24=72.2566310277163x_{24} = 72.2566310277163
x25=65.9734456596322x_{25} = 65.9734456596322
x26=40.8407056026057x_{26} = 40.8407056026057
x27=53.4070754913975x_{27} = 53.4070754913975
x28=21.9911485190215x_{28} = 21.9911485190215
x29=47.1238895754234x_{29} = 47.1238895754234
x30=40.8407041550563x_{30} = 40.8407041550563
x31=−84.8230010779785x_{31} = -84.8230010779785
x32=−15.7079632493787x_{32} = -15.7079632493787
x33=3.14159207244778x_{33} = 3.14159207244778
x34=−72.2566313408537x_{34} = -72.2566313408537
x35=−97.3893719631857x_{35} = -97.3893719631857
x36=−3.14159159553391x_{36} = -3.14159159553391
x37=−97.3893724664065x_{37} = -97.3893724664065
x38=47.1238892401961x_{38} = 47.1238892401961
x39=97.3893713350675x_{39} = 97.3893713350675
x40=−9.42477814652397x_{40} = -9.42477814652397
x41=−59.6902604579606x_{41} = -59.6902604579606
x42=9.4247769576896x_{42} = 9.4247769576896
x43=53.4070741096774x_{43} = 53.4070741096774
x44=47.1238904278493x_{44} = 47.1238904278493
x45=−34.5575201938684x_{45} = -34.5575201938684
x46=−91.1061873312798x_{46} = -91.1061873312798
x47=−53.4070748400409x_{47} = -53.4070748400409
x48=91.106187597873x_{48} = 91.106187597873
x49=34.5575190133278x_{49} = 34.5575190133278
x50=78.5398165412932x_{50} = 78.5398165412932
x51=34.5575194123513x_{51} = 34.5575194123513
x52=−78.5398173320079x_{52} = -78.5398173320079
x53=−40.8407043026032x_{53} = -40.8407043026032
x54=97.3893712747287x_{54} = 97.3893712747287
x55=−3.14159300683281x_{55} = -3.14159300683281
x56=97.389372654126x_{56} = 97.389372654126
x57=47.1238904934905x_{57} = 47.1238904934905
x58=−47.1238889150739x_{58} = -47.1238889150739
x59=40.8407053136288x_{59} = 40.8407053136288
x60=21.9911485852153x_{60} = 21.9911485852153
x61=53.4070741478622x_{61} = 53.4070741478622
x62=−40.8407048462995x_{62} = -40.8407048462995
x63=−91.1061860368827x_{63} = -91.1061860368827
x64=−72.256630857317x_{64} = -72.256630857317
x65=91.1061869569737x_{65} = 91.1061869569737
x66=−91.1061859802604x_{66} = -91.1061859802604
x67=65.9734457530642x_{67} = 65.9734457530642
x68=15.7079628887667x_{68} = 15.7079628887667
x69=84.8230024224715x_{69} = 84.8230024224715
x70=−78.5398159953694x_{70} = -78.5398159953694
x71=72.2566310354099x_{71} = 72.2566310354099
x72=−78.5398174338057x_{72} = -78.5398174338057
x73=9.42477695336787x_{73} = 9.42477695336787
x74=−3.14159179855115x_{74} = -3.14159179855115
x75=−47.1238887896178x_{75} = -47.1238887896178
x76=−15.7079632966706x_{76} = -15.7079632966706
x77=59.6902606235069x_{77} = 59.6902606235069
x78=84.82300131674x_{78} = 84.82300131674
x79=−21.991148586432x_{79} = -21.991148586432
x80=28.274333892804x_{80} = 28.274333892804
x81=−40.8407050959251x_{81} = -40.8407050959251
x82=−84.8230022649727x_{82} = -84.8230022649727
x83=91.1061864073649x_{83} = 91.1061864073649
x84=78.5398161731332x_{84} = 78.5398161731332
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(-cos(x)).
log⁡(−cos⁡(0))\log{\left(- \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=iπf{\left(0 \right)} = i \pi
Punto:
(0, pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, pi*I)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)=0- (\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(−cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(−cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(-cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(−cos⁡(x))=log⁡(−cos⁡(x))\log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(−cos⁡(x))=−log⁡(−cos⁡(x))\log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = log(-cos(x))
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