Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(e,x)-arctg(x)

Gráfico de la función y = log(e,x)-arctg(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(E)          
f(x) = ------ - atan(x)
       log(x)
f(x)=−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)f{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}} 
f = -atan(x) + log(E)/log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)=0- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2.35260649700627x_{1} = 2.35260649700627
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(E)/log(x) - atan(x).
−atan⁡(0)+log⁡(e)log⁡(0)- \operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1x2+1−log⁡(e)xlog⁡(x)2=0- \frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{\log{\left(e \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2+1)2+log⁡(e)x2log⁡(x)2+2log⁡(e)x2log⁡(x)3=0\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{2 \log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=104071.285698082x_{1} = 104071.285698082
x2=92161.3661593827x_{2} = 92161.3661593827
x3=124315.83081038x_{3} = 124315.83081038
x4=149167.970558905x_{4} = 149167.970558905
x5=166028.025102489x_{5} = 166028.025102489
x6=136671.83195701x_{6} = 136671.83195701
x7=183094.343665814x_{7} = 183094.343665814
x8=132536.979497372x_{8} = 132536.979497372
x9=178809.522141792x_{9} = 178809.522141792
x10=128418.148328214x_{10} = 128418.148328214
x11=96109.9034593334x_{11} = 96109.9034593334
x12=170276.067264168x_{12} = 170276.067264168
x13=161792.856155895x_{13} = 161792.856155895
x14=112113.319087607x_{14} = 112113.319087607
x15=144987.758873779x_{15} = 144987.758873779
x16=100080.144082518x_{16} = 100080.144082518
x17=153362.474656449x_{17} = 153362.474656449
x18=108082.578241352x_{18} = 108082.578241352
x19=88235.3922766162x_{19} = 88235.3922766162
x20=116162.848797513x_{20} = 116162.848797513
x21=157570.890712594x_{21} = 157570.890712594
x22=140822.239247225x_{22} = 140822.239247225
x23=174536.666948537x_{23} = 174536.666948537
x24=120230.547352302x_{24} = 120230.547352302
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2x(x2+1)2+log⁡(e)x2log⁡(x)2+2log⁡(e)x2log⁡(x)3)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{2 \log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2x(x2+1)2+log⁡(e)x2log⁡(x)2+2log⁡(e)x2log⁡(x)3)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{2 \log{\left(e \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x))=π2\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞(−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x))=−π2\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(E)/log(x) - atan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)=atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(−x)- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(- x \right)}}
- No
−atan⁡(x)+log⁡(e)log⁡(x)=−atan⁡(x)−log⁡(e)log⁡(−x)- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(x \right)}} = - \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(e \right)}}{\log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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