Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2x-1)^4

Gráfico de la función y = (x^2+2x-1)^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     4
       / 2          \ 
f(x) = \x  + 2*x - 1/
f(x)=((x2+2x)−1)4f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} 
f = (x^2 + 2*x - 1)^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100400000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x2+2x)−1)4=0\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Solución numérica
x1=−2.41421356237309x_{1} = -2.41421356237309
x2=0.414213562373095x_{2} = 0.414213562373095
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2*x - 1)^4.
(−1+(02+0⋅2))4\left(-1 + \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)\right)^{4}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(8x+8)((x2+2x)−1)3=0\left(8 x + 8\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=−1+2x_{2} = -1 + \sqrt{2}
x3=−2−1x_{3} = - \sqrt{2} - 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 16)

                                           4 
             /                 2          \  
        ___  |     /       ___\        ___|  
(-1 + \/ 2, \-3 + \-1 + \/ 2 /  + 2*\/ 2 / )

                                           4 
             /                 2          \  
        ___  |     /       ___\        ___|  
(-1 - \/ 2, \-3 + \-1 - \/ 2 /  - 2*\/ 2 / )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Puntos máximos de la función:
x2=−1x_{2} = -1
Decrece en los intervalos
[−2−1,−1]∪[−1+2,∞)\left[- \sqrt{2} - 1, -1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2−1]∪[−1,−1+2]\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1, -1 + \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(x2+2x−1)2(x2+2x+6(x+1)2−1)=08 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x + 6 \left(x + 1\right)^{2} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1−147x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}
x2=−1+147x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}
x3=−1+2x_{3} = -1 + \sqrt{2}
x4=−2−1x_{4} = - \sqrt{2} - 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1−147]∪[−1+147,∞)\left(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{14}}{7}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−1−147,−1+147]\left[-1 - \frac{\sqrt{14}}{7}, -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)−1)4=∞\lim_{x \to -\infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+2x)−1)4=∞\lim_{x \to \infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x - 1)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x2+2x)−1)4x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2+2x)−1)4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x2+2x)−1)4=(x2−2x−1)4\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}
- No
((x2+2x)−1)4=−(x2−2x−1)4\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = - \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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