Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
- Derivada de:
-
(x^2+2x-1)^4
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +2x- uno)^ cuatro
- (x al cuadrado más 2x menos 1) en el grado 4
- (x en el grado dos más 2x menos uno) en el grado cuatro
- (x2+2x-1)4
- x2+2x-14
- (x²+2x-1)⁴
- (x en el grado 2+2x-1) en el grado 4
- x^2+2x-1^4
-
Expresiones semejantes
- (x^2-2x-1)^4
- (x^2+2x+1)^4
Gráfico de la función y = (x^2+2x-1)^4
Solución
Ha introducido
[src]
4
/ 2 \
f(x) = \x + 2*x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}$$
f = (x^2 + 2*x - 1)^4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.41421356237309$$
$$x_{2} = 0.414213562373095$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.41421356237309$$
$$x_{2} = 0.414213562373095$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(8 x + 8\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(8 x + 8\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 16)
4
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
(-1 + \/ 2, \-3 + \-1 + \/ 2 / + 2*\/ 2 / ) 4
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
(-1 - \/ 2, \-3 + \-1 - \/ 2 / - 2*\/ 2 / )Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x + 6 \left(x + 1\right)^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{4} = - \sqrt{2} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{14}}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{\sqrt{14}}{7}, -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x + 6 \left(x + 1\right)^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{4} = - \sqrt{2} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{14}}{7}\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{14}}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{\sqrt{14}}{7}, -1 + \frac{\sqrt{14}}{7}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x - 1)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}$$
- No
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = - \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}$$
- No
$$\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)^{4} = - \left(x^{2} - 2 x - 1\right)^{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar