Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-sqrt2sinx

Gráfico de la función y = x-sqrt2sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             __________
f(x) = x - \/ 2*sin(x)
f(x)=x−2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}} 
f = x - sqrt(2*sin(x))
Gráfico de la función
05-15-10-5201015-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−2sin⁡(x)=0x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.40441482409243x_{1} = 1.40441482409243
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - sqrt(2*sin(x)).
−2sin⁡(0)- \sqrt{2 \sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−2cos⁡(x)2sin⁡(x)=01 - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−21+2+1+2)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} + 1 + \sqrt{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                _______________________________________________ 
       /                     ___________\        /                     ___________\            /    /      /                     ___________\\  
       |      ___     ___   /       ___ |        |      ___     ___   /       ___ |     ___   /     |      |      ___     ___   /       ___ ||  
(2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  1 + \/ 2  /, 2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  1 + \/ 2  / - \/ 2 *\/   sin\2*atan\1 + \/ 2  - \/ 2 *\/  1 + \/ 2  // )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2atan⁡(−21+2+1+2)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} + 1 + \sqrt{2} \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(−21+2+1+2),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} + 1 + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2atan⁡(−21+2+1+2)]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} + 1 + \sqrt{2} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2sin⁡(x)+cos⁡2(x)sin⁡32(x))4=0\frac{\sqrt{2} \left(2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}\right)}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−2sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - sqrt(2*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−2sin⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−2sin⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−2sin⁡(x)=−x−2−sin⁡(x)x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}} = - x - \sqrt{2} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}}
- No
x−2sin⁡(x)=x+2−sin⁡(x)x - \sqrt{2 \sin{\left(x \right)}} = x + \sqrt{2} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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