Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
1/(x^2+4)
-
x^2*exp(-x)
-
-cos(x)-sin(x)
-
-exp(x)-exp(-x)-exp(2*x)
- Integral de d{x}:
- cos2x
- Derivada de:
-
cos2x
- La ecuación:
- cos2x
-
Expresiones idénticas
- cos2x
- coseno de 2x
-
Expresiones semejantes
- 1-cos(2*x)
- (cos(x)^2-cos(2*x)^2)/x^2
Gráfico de la función y = cos2x
Solución
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -55.7632696012188$$
$$x_{2} = -98.174770424681$$
$$x_{3} = 66.7588438887831$$
$$x_{4} = -11.7809724509617$$
$$x_{5} = 25.9181393921158$$
$$x_{6} = -40.0553063332699$$
$$x_{7} = 18.0641577581413$$
$$x_{8} = -13.3517687777566$$
$$x_{9} = 55.7632696012188$$
$$x_{10} = -16.4933614313464$$
$$x_{11} = -49.4800842940392$$
$$x_{12} = 96.6039740978861$$
$$x_{13} = -41.6261026600648$$
$$x_{14} = 52.621676947629$$
$$x_{15} = 76.1836218495525$$
$$x_{16} = 69.9004365423729$$
$$x_{17} = 30.6305283725005$$
$$x_{18} = 85.6083998103219$$
$$x_{19} = -19.6349540849362$$
$$x_{20} = -3.92699081698724$$
$$x_{21} = 38.484510006475$$
$$x_{22} = 32.2013246992954$$
$$x_{23} = 27.4889357189107$$
$$x_{24} = 1973.70558461779$$
$$x_{25} = 84.037603483527$$
$$x_{26} = -91.8915851175014$$
$$x_{27} = 98.174770424681$$
$$x_{28} = 44.7676953136546$$
$$x_{29} = -85.6083998103219$$
$$x_{30} = 41.6261026600648$$
$$x_{31} = 91.8915851175014$$
$$x_{32} = -2.35619449019234$$
$$x_{33} = 16.4933614313464$$
$$x_{34} = 46.3384916404494$$
$$x_{35} = 162.577419823272$$
$$x_{36} = 63.6172512351933$$
$$x_{37} = 54.1924732744239$$
$$x_{38} = -84.037603483527$$
$$x_{39} = -93.4623814442964$$
$$x_{40} = 47.9092879672443$$
$$x_{41} = 24.3473430653209$$
$$x_{42} = -5.49778714378214$$
$$x_{43} = 68.329640215578$$
$$x_{44} = 62.0464549083984$$
$$x_{45} = -68.329640215578$$
$$x_{46} = -38.484510006475$$
$$x_{47} = 74.6128255227576$$
$$x_{48} = 5.49778714378214$$
$$x_{49} = -47.9092879672443$$
$$x_{50} = 40.0553063332699$$
$$x_{51} = -57.3340659280137$$
$$x_{52} = 49.4800842940392$$
$$x_{53} = -25.9181393921158$$
$$x_{54} = -76.1836218495525$$
$$x_{55} = 88.7499924639117$$
$$x_{56} = 99.7455667514759$$
$$x_{57} = -62.0464549083984$$
$$x_{58} = -82.4668071567321$$
$$x_{59} = -71.4712328691678$$
$$x_{60} = 60.4756585816035$$
$$x_{61} = -33.7721210260903$$
$$x_{62} = 77.7544181763474$$
$$x_{63} = -46.3384916404494$$
$$x_{64} = -63.6172512351933$$
$$x_{65} = -90.3207887907066$$
$$x_{66} = -35.3429173528852$$
$$x_{67} = 8.63937979737193$$
$$x_{68} = -10.2101761241668$$
$$x_{69} = -18.0641577581413$$
$$x_{70} = -27.4889357189107$$
$$x_{71} = -54.1924732744239$$
$$x_{72} = 22.776546738526$$
$$x_{73} = 3.92699081698724$$
$$x_{74} = -79.3252145031423$$
$$x_{75} = -99.7455667514759$$
$$x_{76} = 82.4668071567321$$
$$x_{77} = 33.7721210260903$$
$$x_{78} = 11.7809724509617$$
$$x_{79} = 10.2101761241668$$
$$x_{80} = 19.6349540849362$$
$$x_{81} = -77.7544181763474$$
$$x_{82} = -69.9004365423729$$
$$x_{83} = 384.059701901352$$
$$x_{84} = 2.35619449019234$$
$$x_{85} = 87.1791961371168$$
$$x_{86} = -24.3473430653209$$
$$x_{87} = -60.4756585816035$$
$$x_{88} = 90.3207887907066$$
$$x_{89} = -32.2013246992954$$
$$x_{90} = -12461.9126586273$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -55.7632696012188$$
$$x_{2} = -98.174770424681$$
$$x_{3} = 66.7588438887831$$
$$x_{4} = -11.7809724509617$$
$$x_{5} = 25.9181393921158$$
$$x_{6} = -40.0553063332699$$
$$x_{7} = 18.0641577581413$$
$$x_{8} = -13.3517687777566$$
$$x_{9} = 55.7632696012188$$
$$x_{10} = -16.4933614313464$$
$$x_{11} = -49.4800842940392$$
$$x_{12} = 96.6039740978861$$
$$x_{13} = -41.6261026600648$$
$$x_{14} = 52.621676947629$$
$$x_{15} = 76.1836218495525$$
$$x_{16} = 69.9004365423729$$
$$x_{17} = 30.6305283725005$$
$$x_{18} = 85.6083998103219$$
$$x_{19} = -19.6349540849362$$
$$x_{20} = -3.92699081698724$$
$$x_{21} = 38.484510006475$$
$$x_{22} = 32.2013246992954$$
$$x_{23} = 27.4889357189107$$
$$x_{24} = 1973.70558461779$$
$$x_{25} = 84.037603483527$$
$$x_{26} = -91.8915851175014$$
$$x_{27} = 98.174770424681$$
$$x_{28} = 44.7676953136546$$
$$x_{29} = -85.6083998103219$$
$$x_{30} = 41.6261026600648$$
$$x_{31} = 91.8915851175014$$
$$x_{32} = -2.35619449019234$$
$$x_{33} = 16.4933614313464$$
$$x_{34} = 46.3384916404494$$
$$x_{35} = 162.577419823272$$
$$x_{36} = 63.6172512351933$$
$$x_{37} = 54.1924732744239$$
$$x_{38} = -84.037603483527$$
$$x_{39} = -93.4623814442964$$
$$x_{40} = 47.9092879672443$$
$$x_{41} = 24.3473430653209$$
$$x_{42} = -5.49778714378214$$
$$x_{43} = 68.329640215578$$
$$x_{44} = 62.0464549083984$$
$$x_{45} = -68.329640215578$$
$$x_{46} = -38.484510006475$$
$$x_{47} = 74.6128255227576$$
$$x_{48} = 5.49778714378214$$
$$x_{49} = -47.9092879672443$$
$$x_{50} = 40.0553063332699$$
$$x_{51} = -57.3340659280137$$
$$x_{52} = 49.4800842940392$$
$$x_{53} = -25.9181393921158$$
$$x_{54} = -76.1836218495525$$
$$x_{55} = 88.7499924639117$$
$$x_{56} = 99.7455667514759$$
$$x_{57} = -62.0464549083984$$
$$x_{58} = -82.4668071567321$$
$$x_{59} = -71.4712328691678$$
$$x_{60} = 60.4756585816035$$
$$x_{61} = -33.7721210260903$$
$$x_{62} = 77.7544181763474$$
$$x_{63} = -46.3384916404494$$
$$x_{64} = -63.6172512351933$$
$$x_{65} = -90.3207887907066$$
$$x_{66} = -35.3429173528852$$
$$x_{67} = 8.63937979737193$$
$$x_{68} = -10.2101761241668$$
$$x_{69} = -18.0641577581413$$
$$x_{70} = -27.4889357189107$$
$$x_{71} = -54.1924732744239$$
$$x_{72} = 22.776546738526$$
$$x_{73} = 3.92699081698724$$
$$x_{74} = -79.3252145031423$$
$$x_{75} = -99.7455667514759$$
$$x_{76} = 82.4668071567321$$
$$x_{77} = 33.7721210260903$$
$$x_{78} = 11.7809724509617$$
$$x_{79} = 10.2101761241668$$
$$x_{80} = 19.6349540849362$$
$$x_{81} = -77.7544181763474$$
$$x_{82} = -69.9004365423729$$
$$x_{83} = 384.059701901352$$
$$x_{84} = 2.35619449019234$$
$$x_{85} = 87.1791961371168$$
$$x_{86} = -24.3473430653209$$
$$x_{87} = -60.4756585816035$$
$$x_{88} = 90.3207887907066$$
$$x_{89} = -32.2013246992954$$
$$x_{90} = -12461.9126586273$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
pi (--, -1) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(2 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(2 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(2 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(2 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico