Sr Examen

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y=log^2(cos2x)
Trazado el gráfico de la función/ y=log^2(cos2x)

Gráfico de la función y = y=log^2(cos2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
f(x) = log (cos(2*x))
f(x)=log⁡(cos⁡(2x))2f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} 
f = log(cos(2*x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010040
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(2x))2=0\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6904322624686x_{1} = -59.6904322624686
x2=94.2477860034586x_{2} = 94.2477860034586
x3=0x_{3} = 0
x4=65.973539022907x_{4} = 65.973539022907
x5=21.9911796988734x_{5} = 21.9911796988734
x6=43.982359384088x_{6} = 43.982359384088
x7=−65.9735393977913x_{7} = -65.9735393977913
x8=−21.9911797030287x_{8} = -21.9911797030287
x9=28.274263793412x_{9} = 28.274263793412
x10=50.2654378601274x_{10} = 50.2654378601274
x11=72.2566119319118x_{11} = 72.2566119319118
x12=−43.9823594533227x_{12} = -43.9823594533227
x13=87.9647185759647x_{13} = 87.9647185759647
x14=−37.6992582933143x_{14} = -37.6992582933143
x15=−81.6816061964134x_{15} = -81.6816061964134
x16=−87.9647198775463x_{16} = -87.9647198775463
x17=6.28308974024953x_{17} = 6.28308974024953
x18=−15.7080842909216x_{18} = -15.7080842909216
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(2*x))^2.
log⁡(cos⁡(0⋅2))2\log{\left(\cos{\left(0 \cdot 2 \right)} \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4log⁡(cos⁡(2x))sin⁡(2x)cos⁡(2x)=0- \frac{4 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=πx_{4} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi      2 
(----, -pi )
  2         

 pi     2 
(--, -pi )
 2        

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(−log⁡(cos⁡(2x))sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)−log⁡(cos⁡(2x))+sin⁡2(2x)cos⁡2(2x))=08 \left(- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} - \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−37.6991118786982x_{1} = -37.6991118786982
x2=87.9645943378312x_{2} = 87.9645943378312
x3=−81.6814090410887x_{3} = -81.6814090410887
x4=−65.9734457637652x_{4} = -65.9734457637652
x5=−87.964594356552x_{5} = -87.964594356552
x6=−21.9911485863157x_{6} = -21.9911485863157
x7=0x_{7} = 0
x8=28.2743338649029x_{8} = 28.2743338649029
x9=−59.6902604598761x_{9} = -59.6902604598761
x10=6.28318528366073x_{10} = 6.28318528366073
x11=65.9734457540693x_{11} = 65.9734457540693
x12=50.2654824462348x_{12} = 50.2654824462348
x13=21.9911485853287x_{13} = 21.9911485853287
x14=43.9822971699515x_{14} = 43.9822971699515
x15=−43.9822971740281x_{15} = -43.9822971740281
x16=72.2566310277x_{16} = 72.2566310277
x17=94.2477796093505x_{17} = 94.2477796093505
x18=−15.7079632975288x_{18} = -15.7079632975288

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(2x))2=log⁡(⟨−1,1⟩)2\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)2y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(2x))2=log⁡(⟨−1,1⟩)2\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)2y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(2*x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(2x))2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(2x))2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(2x))2=log⁡(cos⁡(2x))2\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2}
- Sí
log⁡(cos⁡(2x))2=−log⁡(cos⁡(2x))2\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2} = - \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=log^2(cos2x)
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