Sr Examen

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((x^2)-3x+2)/(x+1)

Gráfico de la función y = ((x^2)-3x+2)/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2          
       x  - 3*x + 2
f(x) = ------------
          x + 1    
f(x)=(x23x)+2x+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1}
f = (x^2 - 3*x + 2)/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x23x)+2x+1=0\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 3*x + 2)/(x + 1).
(020)+21\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 2}{1}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x3x+1(x23x)+2(x+1)2=0\frac{2 x - 3}{x + 1} - \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+6x_{1} = -1 + \sqrt{6}
x2=61x_{2} = - \sqrt{6} - 1
Signos de extremos en los puntos:
                   /                2          \ 
               ___ |    /       ___\        ___| 
        ___  \/ 6 *\5 + \-1 + \/ 6 /  - 3*\/ 6 / 
(-1 + \/ 6, -----------------------------------)
                              6                  

                    /                2          \  
                ___ |    /       ___\        ___|  
        ___  -\/ 6 *\5 + \-1 - \/ 6 /  + 3*\/ 6 /  
(-1 - \/ 6, -------------------------------------)
                               6                   


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+6x_{1} = -1 + \sqrt{6}
Puntos máximos de la función:
x1=61x_{1} = - \sqrt{6} - 1
Decrece en los intervalos
(,61][1+6,)\left(-\infty, - \sqrt{6} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[61,1+6]\left[- \sqrt{6} - 1, -1 + \sqrt{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(12x3x+1+x23x+2(x+1)2)x+1=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 x - 3}{x + 1} + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((x23x)+2x+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx((x23x)+2x+1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 3*x + 2)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((x23x)+2x(x+1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
limx((x23x)+2x(x+1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x23x)+2x+1=x2+3x+21x\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1} = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{1 - x}
- No
(x23x)+2x+1=x2+3x+21x\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x + 1} = - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ((x^2)-3x+2)/(x+1)