Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x+2)+sqrt(5-4x-x^2)

Gráfico de la función y = sqrt(x+2)+sqrt(5-4x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      ______________
         _______     /            2 
f(x) = \/ x + 2  + \/  5 - 4*x - x
f(x)=x+2+−x2+(5−4x)f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} 
f = sqrt(x + 2) + sqrt(-x^2 + 5 - 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101024
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+2+−x2+(5−4x)=0\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 2) + sqrt(5 - 4*x - x^2).
2+−02+(5−0)\sqrt{2} + \sqrt{- 0^{2} + \left(5 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=2+5f{\left(0 \right)} = \sqrt{2} + \sqrt{5}
Punto:
(0, sqrt(2) + sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−2−x2+(5−4x)+12x+2=0\frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2512+1144291348+194317283+291348+194317283x_{1} = - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                                 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 
                                                                       ____________________________________________________________             /                                                                  2                                                         
             _________________                                        /             _________________                                          /       /            _________________                             \           _________________                              
            /          ______                                        /             /          ______                                          /        |           /          ______                              |          /          ______                               
   25      /  1943   \/ 2913                 1                      /     1       /  1943   \/ 2913                 1                        /    40   |  25      /  1943   \/ 2913                 1             |         /  1943   \/ 2913                 1              
(- -- + 3 /   ---- + --------  + --------------------------,       /    - -- + 3 /   ---- + --------  + --------------------------  +       /     -- - |- -- + 3 /   ---- + --------  + --------------------------|  - 4*3 /   ---- + --------  - ------------------------- )
   12   \/    1728      48                _________________       /       12   \/    1728      48                _________________         /      3    |  12   \/    1728      48                _________________|      \/    1728      48               _________________  
                                         /          ______       /                                              /          ______         /            |                                        /          ______ |                                      /          ______   
                                        /  1943   \/ 2913       /                                              /  1943   \/ 2913         /             |                                       /  1943   \/ 2913  |                                     /  1943   \/ 2913    
                                 144*3 /   ---- + --------     /                                        144*3 /   ---- + --------       /              |                                144*3 /   ---- + -------- |                               36*3 /   ---- + --------   
                                     \/    1728      48      \/                                             \/    1728      48        \/               \                                    \/    1728      48    /                                  \/    1728      48


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−2512+1144291348+194317283+291348+194317283x_{1} = - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2512+1144291348+194317283+291348+194317283]\left(-\infty, - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}\right]
Crece en los intervalos
[−2512+1144291348+194317283+291348+194317283,∞)\left[- \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2+−x2+(5−4x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+2+−x2+(5−4x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 2) + sqrt(5 - 4*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2+−x2+(5−4x)x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(x+2+−x2+(5−4x)x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+2+−x2+(5−4x)=2−x+−x2+4x+5\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = \sqrt{2 - x} + \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}
- No
x+2+−x2+(5−4x)=−2−x−−x2+4x+5\sqrt{x + 2} + \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = - \sqrt{2 - x} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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