Sr Examen

Otras calculadoras

lnx/x^2
Trazado el gráfico de la función/ lnx/x^2

Gráfico de la función y = lnx/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
          2  
         x
f(x)=log⁡(x)x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} 
f = log(x)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x2=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/x^2.
log⁡(0)02\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xx2−2log⁡(x)x3=0\frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e12x_{1} = e^{\frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
        -1 
  1/2  e   
(e  , ---)
        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e12x_{1} = e^{\frac{1}{2}}
Decrece en los intervalos
(−∞,e12]\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]
Crece en los intervalos
[e12,∞)\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6log⁡(x)−5x4=0\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e56x_{1} = e^{\frac{5}{6}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(6log⁡(x)−5x4)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(6log⁡(x)−5x4)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e56,∞)\left[e^{\frac{5}{6}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e56]\left(-\infty, e^{\frac{5}{6}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x2=log⁡(−x)x2\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}
- No
log⁡(x)x2=−log⁡(−x)x2\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = lnx/x^2
    © Sr Examen – Калькулятор