Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x*exp(-x)
-
x^3/(3-x^2)
-
x^3-x^2+2
- Derivada de:
-
(x^2-4*x+1)/(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - cuatro *x+ uno)/(x- cuatro)
- (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x más 1) dividir por (x menos 4)
- (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x más uno) dividir por (x menos cuatro)
- (x2-4*x+1)/(x-4)
- x2-4*x+1/x-4
- (x²-4*x+1)/(x-4)
- (x en el grado 2-4*x+1)/(x-4)
- (x^2-4x+1)/(x-4)
- (x2-4x+1)/(x-4)
- x2-4x+1/x-4
- x^2-4x+1/x-4
- (x^2-4*x+1) dividir por (x-4)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+4*x+1)/(x-4)
- (x^2-4*x+1)/(x+4)
- (x^2-4*x-1)/(x-4)
Gráfico de la función y = (x^2-4*x+1)/(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - 4*x + 1
f(x) = ------------
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4}$$
f = (x^2 - 4*x + 1)/(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 4}{x - 4} - \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 4}{x - 4} - \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 2)
(5, 6)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, 5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 4} + \frac{x^{2} - 4 x + 1}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 4} + \frac{x^{2} - 4 x + 1}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4*x + 1)/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = - \frac{x^{2} + 4 x + 1}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x - 4} = - \frac{x^{2} + 4 x + 1}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico