Sr Examen

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x^3/(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ x^3/(x+1)

Gráfico de la función y = x^3/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3 
         x  
f(x) = -----
       x + 1
f(x)=x3x+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x + 1} 
f = x^3/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3x+1=0\frac{x^{3}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0.000101172668062256x_{1} = 0.000101172668062256
x2=−0.000108490164440812x_{2} = -0.000108490164440812
x3=0.000103958710774365x_{3} = 0.000103958710774365
x4=0x_{4} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x + 1).
031\frac{0^{3}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3(x+1)2+3x2x+1=0- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-3/2, 27/4)

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−32,∞)\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−32]\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2(x+1)2−3xx+1+3)x+1=0\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2x(x2(x+1)2−3xx+1+3)x+1)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2x(x2(x+1)2−3xx+1+3)x+1)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3x+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2x+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3x+1=−x31−x\frac{x^{3}}{x + 1} = - \frac{x^{3}}{1 - x}
- No
x3x+1=x31−x\frac{x^{3}}{x + 1} = \frac{x^{3}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3/(x+1)
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