Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 x^{2} + 6 x - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
\/ 21 | \/ 21 | | \/ 21 | 4*\/ 21
(-1 + ------, -8 + |-1 + ------| + 3*|-1 + ------| - --------)
3 \ 3 / \ 3 / 3
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
\/ 21 | \/ 21 | | \/ 21 | 4*\/ 21
(-1 - ------, -8 + |-1 - ------| + 3*|-1 - ------| + --------)
3 \ 3 / \ 3 / 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{21}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{3} - 1, -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}\right]$$