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(x*(x+2))/(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x*(x+2))/(x+1)^2

Gráfico de la función y = (x*(x+2))/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x*(x + 2)
f(x) = ---------
               2
        (x + 1)
f(x)=x(x+2)(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = (x*(x + 2))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+2)(x+1)2=0\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x + 2))/(x + 1)^2.
0⋅212\frac{0 \cdot 2}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(−2x−2)(x+2)(x+1)4+2x+2(x+1)2=0\frac{x \left(- 2 x - 2\right) \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{2 x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x(x+2)(x+1)2−1)(x+1)2=0\frac{6 \left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+2)(x+1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x(x+2)(x+1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x + 2))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2(x+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+2(x+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+2)(x+1)2=−x(2−x)(1−x)2\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x \left(2 - x\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
x(x+2)(x+1)2=x(2−x)(1−x)2\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x \left(2 - x\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x*(x+2))/(x+1)^2
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