Sr Examen

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x^(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ x^(x+1)

Gráfico de la función y = x^(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x + 1
f(x) = x
f(x)=xx+1f{\left(x \right)} = x^{x + 1} 
f = x^(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000000000-100000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx+1=0x^{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(x + 1).
010^{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx+1(log⁡(x)+x+1x)=0x^{x + 1} \left(\log{\left(x \right)} + \frac{x + 1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xx+1((log⁡(x)+x+1x)2+2−x+1xx)=0x^{x + 1} \left(\left(\log{\left(x \right)} + \frac{x + 1}{x}\right)^{2} + \frac{2 - \frac{x + 1}{x}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.216438154960129x_{1} = 0.216438154960129

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.216438154960129,∞)\left[0.216438154960129, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.216438154960129]\left(-\infty, 0.216438154960129\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xx+1=∞\lim_{x \to -\infty} x^{x + 1} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞xx+1=∞\lim_{x \to \infty} x^{x + 1} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x + 1}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xx+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x + 1}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx+1=(−x)1−xx^{x + 1} = \left(- x\right)^{1 - x}
- No
xx+1=−(−x)1−xx^{x + 1} = - \left(- x\right)^{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^(x+1)
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