Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ xcos(1/(x-1))

Gráfico de la función y = xcos(1/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /  1  \
f(x) = x*cos|-----|
            \x - 1/
f(x)=xcos⁡(1x−1)f{\left(x \right)} = x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} 
f = x*cos(1/(x - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xcos⁡(1x−1)=0x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2+ππx_{2} = \frac{-2 + \pi}{\pi}
x3=2+ππx_{3} = \frac{2 + \pi}{\pi}
Solución numérica
x1=1.63661977236758x_{1} = 1.63661977236758
x2=0x_{2} = 0
x3=0.363380227632419x_{3} = 0.363380227632419
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*cos(1/(x - 1)).
0cos⁡(1−1)0 \cos{\left(\frac{1}{-1} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xsin⁡(1x−1)(x−1)2+cos⁡(1x−1)=0\frac{x \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.204809909986115x_{1} = 0.204809909986115
Signos de extremos en los puntos:
(0.2048099099861151, 0.0631097566761149)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.204809909986115x_{1} = 0.204809909986115
Decrece en los intervalos
(−∞,0.204809909986115]\left(-\infty, 0.204809909986115\right]
Crece en los intervalos
[0.204809909986115,∞)\left[0.204809909986115, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(2sin⁡(1x−1)+cos⁡(1x−1)x−1)x−1+2sin⁡(1x−1)(x−1)2=0\frac{- \frac{x \left(2 \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x - 1}\right)}{x - 1} + 2 \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34697.6243250698x_{1} = -34697.6243250698
x2=−30461.581809247x_{2} = -30461.581809247
x3=11967.062701682x_{3} = 11967.062701682
x4=−27073.222321526x_{4} = -27073.222321526
x5=−25379.2628632878x_{5} = -25379.2628632878
x6=26359.3051647851x_{6} = 26359.3051647851
x7=−41476.1675398507x_{7} = -41476.1675398507
x8=21277.234159793x_{8} = 21277.234159793
x9=−35544.892151768x_{9} = -35544.892151768
x10=29747.9941615043x_{10} = 29747.9941615043
x11=−27920.2624495412x_{11} = -27920.2624495412
x12=41610.5429353528x_{12} = 41610.5429353528
x13=33137.0208722944x_{13} = 33137.0208722944
x14=−32155.9329037286x_{14} = -32155.9329037286
x15=23818.0915117745x_{15} = 23818.0915117745
x16=−21145.3138821341x_{16} = -21145.3138821341
x17=19583.5907579262x_{17} = 19583.5907579262
x18=38221.0052420818x_{18} = 38221.0052420818
x19=−20298.7460724769x_{19} = -20298.7460724769
x20=34831.6313682063x_{20} = 34831.6313682063
x21=33984.3189905521x_{21} = 33984.3189905521
x22=22971.0939960995x_{22} = 22971.0939960995
x23=13658.5901454419x_{23} = 13658.5901454419
x24=−14376.639321647x_{24} = -14376.639321647
x25=11121.6694538734x_{25} = 11121.6694538734
x26=−21991.9680185083x_{26} = -21991.9680185083
x27=−18605.9212315222x_{27} = -18605.9212315222
x28=−19452.2769220718x_{28} = -19452.2769220718
x29=−22838.6981230753x_{29} = -22838.6981230753
x30=−12686.8094367766x_{30} = -12686.8094367766
x31=−10156.1051049038x_{31} = -10156.1051049038
x32=−39781.4554267348x_{32} = -39781.4554267348
x33=−43170.9201483573x_{33} = -43170.9201483573
x34=12812.7175575944x_{34} = 12812.7175575944
x35=−24532.3524778294x_{35} = -24532.3524778294
x36=30595.2233525579x_{36} = 30595.2233525579
x37=25512.2005595853x_{37} = 25512.2005595853
x38=15350.857169189x_{38} = 15350.857169189
x39=39915.7561222145x_{39} = 39915.7561222145
x40=−16913.6258921995x_{40} = -16913.6258921995
x41=−28767.3378120031x_{41} = -28767.3378120031
x42=37373.6447437066x_{42} = 37373.6447437066
x43=−9314.33622280528x_{43} = -9314.33622280528
x44=36526.2950932373x_{44} = 36526.2950932373
x45=−2.07368643640953x_{45} = -2.07368643640953
x46=−17759.6969198659x_{46} = -17759.6969198659
x47=32289.738084795x_{47} = 32289.738084795
x48=28900.7858451591x_{48} = 28900.7858451591
x49=9431.9114984241x_{49} = 9431.9114984241
x50=−31308.7451163086x_{50} = -31308.7451163086
x51=40763.1453070175x_{51} = 40763.1453070175
x52=−26226.2210714571x_{52} = -26226.2210714571
x53=35678.9570314635x_{53} = 35678.9570314635
x54=−16067.7352142995x_{54} = -16067.7352142995
x55=−36392.1763783469x_{55} = -36392.1763783469
x56=−40628.806091409x_{56} = -40628.806091409
x57=−11842.5674999065x_{57} = -11842.5674999065
x58=−37239.4758339361x_{58} = -37239.4758339361
x59=−29614.4452069968x_{59} = -29614.4452069968
x60=10276.5943471132x_{60} = 10276.5943471132
x61=−10998.9378963001x_{61} = -10998.9378963001
x62=−23685.495431417x_{62} = -23685.495431417
x63=39068.3759094018x_{63} = 39068.3759094018
x64=20430.3822725441x_{64} = 20430.3822725441
x65=24665.1282621238x_{65} = 24665.1282621238
x66=−38086.7894565485x_{66} = -38086.7894565485
x67=14504.6458887642x_{67} = 14504.6458887642
x68=27206.4392204387x_{68} = 27206.4392204387
x69=31442.4718095196x_{69} = 31442.4718095196
x70=16197.2016588763x_{70} = 16197.2016588763
x71=28053.6001966165x_{71} = 28053.6001966165
x72=−15222.0587290397x_{72} = -15222.0587290397
x73=−33003.1431874804x_{73} = -33003.1431874804
x74=17890.2204670506x_{74} = 17890.2204670506
x75=−33850.3741923299x_{75} = -33850.3741923299
x76=18736.8671902956x_{76} = 18736.8671902956
x77=−13531.5321598273x_{77} = -13531.5321598273
x78=17043.6611108778x_{78} = 17043.6611108778
x79=22124.1399311675x_{79} = 22124.1399311675
x80=−42323.5390983968x_{80} = -42323.5390983968
x81=−38934.1162807093x_{81} = -38934.1162807093
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2.07368643640953]\left(-\infty, -2.07368643640953\right]
Convexa en los intervalos
[−2.07368643640953,∞)\left[-2.07368643640953, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xcos⁡(1x−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xcos⁡(1x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*cos(1/(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(1x−1)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞cos⁡(1x−1)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xcos⁡(1x−1)=−xcos⁡(1−x−1)x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = - x \cos{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
xcos⁡(1x−1)=xcos⁡(1−x−1)x \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = x \cos{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор