Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(2 x^{2} - \frac{2 x^{2} e^{- x^{2}}}{1 + e^{- x^{2}}} - 1\right) e^{- x^{2}}}{1 + e^{- x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}, \frac{\sqrt{4 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 2}}{2}\right]$$