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Trazado el gráfico de la función/ x^4-8x^2+9

Gráfico de la función y = x^4-8x^2+9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  - 8*x  + 9
f(x)=(x4−8x2)+9f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9 
f = x^4 - 8*x^2 + 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−8x2)+9=0\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4−7x_{1} = - \sqrt{4 - \sqrt{7}}
x2=4−7x_{2} = \sqrt{4 - \sqrt{7}}
x3=−7+4x_{3} = - \sqrt{\sqrt{7} + 4}
x4=7+4x_{4} = \sqrt{\sqrt{7} + 4}
Solución numérica
x1=−2.57793547457352x_{1} = -2.57793547457352
x2=−1.16372191220042x_{2} = -1.16372191220042
x3=1.16372191220042x_{3} = 1.16372191220042
x4=2.57793547457352x_{4} = 2.57793547457352
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 8*x^2 + 9.
(04−8⋅02)+9\left(0^{4} - 8 \cdot 0^{2}\right) + 9
Resultado:
f(0)=9f{\left(0 \right)} = 9
Punto:
(0, 9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−16x=04 x^{3} - 16 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -7)

(0, 9)

(2, -7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2,0]∪[2,∞)\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,2]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−4)=04 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−233]∪[233,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−233,233]\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−8x2)+9)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−8x2)+9)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^2 + 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−8x2)+9x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−8x2)+9x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−8x2)+9=(x4−8x2)+9\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9 = \left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9
- Sí
(x4−8x2)+9=(−x4+8x2)−9\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 9 = \left(- x^{4} + 8 x^{2}\right) - 9
- No
es decir, función
es
par
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