Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)^ dos +sin(x)
- seno de (x) al cuadrado más seno de (x)
- seno de (x) en el grado dos más seno de (x)
- sin(x)2+sin(x)
- sinx2+sinx
- sin(x)²+sin(x)
- sin(x) en el grado 2+sin(x)
- sinx^2+sinx
-
Expresiones semejantes
- sin(x)^2-sin(x)
- sinx^2+sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sin(2*x^3)^2/(x^3)
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
- sin(x)+sin(10/3*x)+log(x)-(0,84*x+3)
- Seno sin
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sin(2*x^3)^2/(x^3)
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
- sin(x)+sin(10/3*x)+log(x)-(0,84*x+3)
Gráfico de la función y = sin(x)^2+sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin (x) + sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 + sin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = 69.1150383789755$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = 21.9911485751286$$
$$x_{5} = -3.14159265358979$$
$$x_{6} = -15.707963267949$$
$$x_{7} = -95.8185758682081$$
$$x_{8} = -76.969019611197$$
$$x_{9} = 42.4115007309741$$
$$x_{10} = -64.4026492153213$$
$$x_{11} = 48.6946859526732$$
$$x_{12} = 6.28318530717959$$
$$x_{13} = -89.5353907430632$$
$$x_{14} = -34.5575191894877$$
$$x_{15} = 36.1283157927187$$
$$x_{16} = -76.9690201700248$$
$$x_{17} = -26.7035379972524$$
$$x_{18} = -7.85398150061792$$
$$x_{19} = 28.2743338823081$$
$$x_{20} = -94.2477796076938$$
$$x_{21} = -12.5663706143592$$
$$x_{22} = 54.9778715673102$$
$$x_{23} = -26.7035375777291$$
$$x_{24} = -32.9867232359983$$
$$x_{25} = 4.71238880126794$$
$$x_{26} = 10.9955738002317$$
$$x_{27} = -51.8362786901812$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 84.8230016469244$$
$$x_{30} = -39.2699083493443$$
$$x_{31} = 17.2787594994858$$
$$x_{32} = 29.8451303173708$$
$$x_{33} = -32.9867224730462$$
$$x_{34} = -51.8362785033387$$
$$x_{35} = -14.1371668415708$$
$$x_{36} = 59.6902604182061$$
$$x_{37} = 56.5486677646163$$
$$x_{38} = 25.1327412287183$$
$$x_{39} = 72.2566310325652$$
$$x_{40} = 67.5442422387326$$
$$x_{41} = -50.2654824574367$$
$$x_{42} = -70.6858346750384$$
$$x_{43} = 78.5398163397448$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = 37.6991118430775$$
$$x_{46} = -6.28318530717959$$
$$x_{47} = -37.6991118430775$$
$$x_{48} = -43.9822971502571$$
$$x_{49} = 47.1238898038469$$
$$x_{50} = -100.530964914873$$
$$x_{51} = 3.14159265358979$$
$$x_{52} = -72.2566310325652$$
$$x_{53} = -81.6814089933346$$
$$x_{54} = 73.8274274758159$$
$$x_{55} = -40.8407044966673$$
$$x_{56} = -65.9734457253857$$
$$x_{57} = 10.9955745314484$$
$$x_{58} = 0$$
$$x_{59} = 54.9778709836$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = -56.5486677646163$$
$$x_{62} = 91.106186954104$$
$$x_{63} = 31.4159265358979$$
$$x_{64} = 43.9822971502571$$
$$x_{65} = -47.1238898038469$$
$$x_{66} = 98.9601685293103$$
$$x_{67} = 17.2787599718548$$
$$x_{68} = 100.530964914873$$
$$x_{69} = -97.3893722612836$$
$$x_{70} = -1.57079642735461$$
$$x_{71} = -45.5530935853668$$
$$x_{72} = 81.6814089933346$$
$$x_{73} = -75.398223686155$$
$$x_{74} = 61.2610565484827$$
$$x_{75} = 92.6769831047852$$
$$x_{76} = 61.261057240759$$
$$x_{77} = 50.2654824574367$$
$$x_{78} = 94.2477796076938$$
$$x_{79} = -84.8230016469244$$
$$x_{80} = -20.4203520633206$$
$$x_{81} = -91.106186954104$$
$$x_{82} = -59.6902604182061$$
$$x_{83} = 86.3937978896245$$
$$x_{84} = 12.5663706143592$$
$$x_{85} = 80.1106131505346$$
$$x_{86} = -89.5353901159531$$
$$x_{87} = 23.5619450880496$$
$$x_{88} = 34.5575191894877$$
$$x_{89} = -62.8318530717959$$
$$x_{90} = 15.707963267949$$
$$x_{91} = -18.8495559215388$$
$$x_{92} = 87.9645943005142$$
$$x_{93} = 98.9601686349023$$
$$x_{94} = -83.2522054990561$$
$$x_{95} = 40.8407044966673$$
$$x_{96} = -9.42477796076938$$
$$x_{97} = -58.1194640010631$$
$$x_{98} = -31.4159265358979$$
$$x_{99} = 75.398223686155$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = 69.1150383789755$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = 21.9911485751286$$
$$x_{5} = -3.14159265358979$$
$$x_{6} = -15.707963267949$$
$$x_{7} = -95.8185758682081$$
$$x_{8} = -76.969019611197$$
$$x_{9} = 42.4115007309741$$
$$x_{10} = -64.4026492153213$$
$$x_{11} = 48.6946859526732$$
$$x_{12} = 6.28318530717959$$
$$x_{13} = -89.5353907430632$$
$$x_{14} = -34.5575191894877$$
$$x_{15} = 36.1283157927187$$
$$x_{16} = -76.9690201700248$$
$$x_{17} = -26.7035379972524$$
$$x_{18} = -7.85398150061792$$
$$x_{19} = 28.2743338823081$$
$$x_{20} = -94.2477796076938$$
$$x_{21} = -12.5663706143592$$
$$x_{22} = 54.9778715673102$$
$$x_{23} = -26.7035375777291$$
$$x_{24} = -32.9867232359983$$
$$x_{25} = 4.71238880126794$$
$$x_{26} = 10.9955738002317$$
$$x_{27} = -51.8362786901812$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 84.8230016469244$$
$$x_{30} = -39.2699083493443$$
$$x_{31} = 17.2787594994858$$
$$x_{32} = 29.8451303173708$$
$$x_{33} = -32.9867224730462$$
$$x_{34} = -51.8362785033387$$
$$x_{35} = -14.1371668415708$$
$$x_{36} = 59.6902604182061$$
$$x_{37} = 56.5486677646163$$
$$x_{38} = 25.1327412287183$$
$$x_{39} = 72.2566310325652$$
$$x_{40} = 67.5442422387326$$
$$x_{41} = -50.2654824574367$$
$$x_{42} = -70.6858346750384$$
$$x_{43} = 78.5398163397448$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = 37.6991118430775$$
$$x_{46} = -6.28318530717959$$
$$x_{47} = -37.6991118430775$$
$$x_{48} = -43.9822971502571$$
$$x_{49} = 47.1238898038469$$
$$x_{50} = -100.530964914873$$
$$x_{51} = 3.14159265358979$$
$$x_{52} = -72.2566310325652$$
$$x_{53} = -81.6814089933346$$
$$x_{54} = 73.8274274758159$$
$$x_{55} = -40.8407044966673$$
$$x_{56} = -65.9734457253857$$
$$x_{57} = 10.9955745314484$$
$$x_{58} = 0$$
$$x_{59} = 54.9778709836$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = -56.5486677646163$$
$$x_{62} = 91.106186954104$$
$$x_{63} = 31.4159265358979$$
$$x_{64} = 43.9822971502571$$
$$x_{65} = -47.1238898038469$$
$$x_{66} = 98.9601685293103$$
$$x_{67} = 17.2787599718548$$
$$x_{68} = 100.530964914873$$
$$x_{69} = -97.3893722612836$$
$$x_{70} = -1.57079642735461$$
$$x_{71} = -45.5530935853668$$
$$x_{72} = 81.6814089933346$$
$$x_{73} = -75.398223686155$$
$$x_{74} = 61.2610565484827$$
$$x_{75} = 92.6769831047852$$
$$x_{76} = 61.261057240759$$
$$x_{77} = 50.2654824574367$$
$$x_{78} = 94.2477796076938$$
$$x_{79} = -84.8230016469244$$
$$x_{80} = -20.4203520633206$$
$$x_{81} = -91.106186954104$$
$$x_{82} = -59.6902604182061$$
$$x_{83} = 86.3937978896245$$
$$x_{84} = 12.5663706143592$$
$$x_{85} = 80.1106131505346$$
$$x_{86} = -89.5353901159531$$
$$x_{87} = 23.5619450880496$$
$$x_{88} = 34.5575191894877$$
$$x_{89} = -62.8318530717959$$
$$x_{90} = 15.707963267949$$
$$x_{91} = -18.8495559215388$$
$$x_{92} = 87.9645943005142$$
$$x_{93} = 98.9601686349023$$
$$x_{94} = -83.2522054990561$$
$$x_{95} = 40.8407044966673$$
$$x_{96} = -9.42477796076938$$
$$x_{97} = -58.1194640010631$$
$$x_{98} = -31.4159265358979$$
$$x_{99} = 75.398223686155$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-5*pi (-----, -1/4) 6
-pi (----, 0) 2
-pi (----, -1/4) 6
pi (--, 2) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar