Sr Examen

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1-sqrt(x^3+2*x+2*x^2)
Trazado el gráfico de la función/ 1-sqrt(x^3+2*x+2*x^2)

Gráfico de la función y = 1-sqrt(x^3+2*x+2*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              _________________
             /  3            2 
f(x) = 1 - \/  x  + 2*x + 2*x
$$f{\left(x \right)} = 1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}$$ 
f = 1 - sqrt(2*x^2 + x^3 + 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{- \frac{47}{2} + \frac{3 \sqrt{249}}{2}}}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{- \frac{47}{2} + \frac{3 \sqrt{249}}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.353209964199324$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - sqrt(x^3 + 2*x + 2*x^2).
$$1 - \sqrt{\left(0^{3} + 0 \cdot 2\right) + 2 \cdot 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 3 x - 2 + \frac{\left(3 x^{2} + 4 x + 2\right)^{2}}{4 x \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}}{\sqrt{x \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - sqrt(x^3 + 2*x + 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)} = 1 - \sqrt{- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x}$$
- No
$$1 - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{3} + 2 x\right)} = \sqrt{- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-sqrt(x^3+2*x+2*x^2)
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