Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(x/2-pi/8)+1

Gráfico de la función y = 2*cos(x/2-pi/8)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x   pi\    
f(x) = 2*cos|- - --| + 1
            \2   8 /
f(x)=2cos⁡(x2−π8)+1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 
f = 2*cos(x/2 - pi/8) + 1
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x2−π8)+1=02 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13π12x_{1} = - \frac{13 \pi}{12}
x2=19π12x_{2} = \frac{19 \pi}{12}
Solución numérica
x1=105.505153283057x_{1} = 105.505153283057
x2=−95.5567765466895x_{2} = -95.5567765466895
x3=42.6733002112614x_{3} = 42.6733002112614
x4=17.540558982543x_{4} = 17.540558982543
x5=−57.857664703612x_{5} = -57.857664703612
x6=71.9948316447661x_{6} = 71.9948316447661
x7=−82.9904059323304x_{7} = -82.9904059323304
x8=−53.6688744988256x_{8} = -53.6688744988256
x9=80.3724120543389x_{9} = 80.3724120543389
x10=34.2957198016886x_{10} = 34.2957198016886
x11=−78.801615727544x_{11} = -78.801615727544
x12=30.1069295969022x_{12} = 30.1069295969022
x13=−145.822259004126x_{13} = -145.822259004126
x14=−32.7249234748937x_{14} = -32.7249234748937
x15=−66.2352451131848x_{15} = -66.2352451131848
x16=−28.5361332701073x_{16} = -28.5361332701073
x17=55.2396708256205x_{17} = 55.2396708256205
x18=−45.2912940892529x_{18} = -45.2912940892529
x19=−70.4240353179712x_{19} = -70.4240353179712
x20=−5633.1374272743x_{20} = -5633.1374272743
x21=−15.9697626557481x_{21} = -15.9697626557481
x22=97.1275728734844x_{22} = 97.1275728734844
x23=21.7293491873294x_{23} = 21.7293491873294
x24=−20.1585528605345x_{24} = -20.1585528605345
x25=−723.875307264648x_{25} = -723.875307264648
x26=−91.3679863419031x_{26} = -91.3679863419031
x27=−3.40339204138894x_{27} = -3.40339204138894
x28=84.5612022591253x_{28} = 84.5612022591253
x29=−7.59218224617533x_{29} = -7.59218224617533
x30=92.9387826686981x_{30} = 92.9387826686981
x31=4.97418836818384x_{31} = 4.97418836818384
x32=9.16297857297023x_{32} = 9.16297857297023
x33=46.8620904160477x_{33} = 46.8620904160477
x34=59.4284610304069x_{34} = 59.4284610304069
x35=67.8060414399797x_{35} = 67.8060414399797
x36=−799.273530950803x_{36} = -799.273530950803
x37=−41.1025038844665x_{37} = -41.1025038844665
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x/2 - pi/8) + 1.
1+2cos⁡(−π8+02)1 + 2 \cos{\left(- \frac{\pi}{8} + \frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1+224+12f{\left(0 \right)} = 1 + 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
Punto:
(0, 1 + 2*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2−π8)=0- \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=9π4x_{2} = \frac{9 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi           /pi   pi\ 
(--, 1 + 2*cos|-- - --|)
 4            \8    8 / 

 9*pi           /pi   pi\ 
(----, 1 - 2*cos|-- - --|)
  4             \8    8 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=9π4x_{1} = \frac{9 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]∪[9π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π4,9π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(4x−π8)2=0- \frac{\cos{\left(\frac{4 x - \pi}{8} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[5π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3π4,5π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x2−π8)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x2−π8)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x/2 - pi/8) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x2−π8)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x2−π8)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x2−π8)+1=2cos⁡(x2+π8)+12 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} + 1
- No
2cos⁡(x2−π8)+1=−2cos⁡(x2+π8)−12 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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