Sr Examen

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(x^3-6x^2+9x)
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x^3-6x^2+9x)
  • f(x)=-3x^2-6x
  • x^2-6x+9
  • y=|x^2-5x-6|++x
  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres -6x^ dos +9x)
  • (x al cubo menos 6x al cuadrado más 9x)
  • (x en el grado tres menos 6x en el grado dos más 9x)
  • (x3-6x2+9x)
  • x3-6x2+9x
  • (x³-6x²+9x)
  • (x en el grado 3-6x en el grado 2+9x)
  • x^3-6x^2+9x
  • Expresiones semejantes

  • (x^3-6x^2-9x)
  • (x^3+6x^2+9x)

Gráfico de la función y = (x^3-6x^2+9x)

Función f()

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Introducir:

Solución

Ha introducido [src]
        3      2      
f(x) = x  - 6*x  + 9*x
$$f{\left(x \right)} = 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)$$
f = 9*x + x^3 - 6*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 6*x^2 + 9*x.
$$\left(0^{3} - 6 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 9$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 4)

(3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 + 9*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x$$
- No
$$9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3-6x^2+9x)
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