Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(pi*x)*sign(2*x^2-x)

Gráfico de la función y = sin(pi*x)*sign(2*x^2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     /   2    \
f(x) = sin(pi*x)*sign\2*x  - x/
f(x)=sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)} 
f = sin(pi*x)*sign(2*x^2 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)=0\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=90x_{1} = 90
x2=18x_{2} = 18
x3=78x_{3} = 78
x4=50x_{4} = 50
x5=70x_{5} = 70
x6=30x_{6} = 30
x7=−4x_{7} = -4
x8=24x_{8} = 24
x9=94x_{9} = 94
x10=−100x_{10} = -100
x11=−56x_{11} = -56
x12=−6x_{12} = -6
x13=38x_{13} = 38
x14=46x_{14} = 46
x15=2x_{15} = 2
x16=−36x_{16} = -36
x17=6x_{17} = 6
x18=66x_{18} = 66
x19=82x_{19} = 82
x20=−60x_{20} = -60
x21=−90x_{21} = -90
x22=34x_{22} = 34
x23=−88x_{23} = -88
x24=−98x_{24} = -98
x25=−44x_{25} = -44
x26=−74x_{26} = -74
x27=0x_{27} = 0
x28=84x_{28} = 84
x29=36x_{29} = 36
x30=72x_{30} = 72
x31=10x_{31} = 10
x32=48x_{32} = 48
x33=−14x_{33} = -14
x34=80x_{34} = 80
x35=−78x_{35} = -78
x36=−62x_{36} = -62
x37=−34x_{37} = -34
x38=−46x_{38} = -46
x39=−8x_{39} = -8
x40=42x_{40} = 42
x41=56x_{41} = 56
x42=−24x_{42} = -24
x43=−16x_{43} = -16
x44=−42x_{44} = -42
x45=64x_{45} = 64
x46=12x_{46} = 12
x47=−50x_{47} = -50
x48=4x_{48} = 4
x49=28x_{49} = 28
x50=22x_{50} = 22
x51=16x_{51} = 16
x52=92x_{52} = 92
x53=−40x_{53} = -40
x54=−86x_{54} = -86
x55=−84x_{55} = -84
x56=−70x_{56} = -70
x57=−68x_{57} = -68
x58=96x_{58} = 96
x59=74x_{59} = 74
x60=−76x_{60} = -76
x61=−82x_{61} = -82
x62=76x_{62} = 76
x63=−96x_{63} = -96
x64=−26x_{64} = -26
x65=−38x_{65} = -38
x66=−58x_{66} = -58
x67=86x_{67} = 86
x68=26x_{68} = 26
x69=−52x_{69} = -52
x70=−48x_{70} = -48
x71=52x_{71} = 52
x72=−18x_{72} = -18
x73=60x_{73} = 60
x74=100x_{74} = 100
x75=88x_{75} = 88
x76=−10x_{76} = -10
x77=−20x_{77} = -20
x78=−66x_{78} = -66
x79=40x_{79} = 40
x80=−94x_{80} = -94
x81=−12x_{81} = -12
x82=−72x_{82} = -72
x83=54x_{83} = 54
x84=−22x_{84} = -22
x85=−30x_{85} = -30
x86=20x_{86} = 20
x87=14x_{87} = 14
x88=32x_{88} = 32
x89=−32x_{89} = -32
x90=44x_{90} = 44
x91=62x_{91} = 62
x92=−80x_{92} = -80
x93=−28x_{93} = -28
x94=−54x_{94} = -54
x95=−64x_{95} = -64
x96=68x_{96} = 68
x97=58x_{97} = 58
x98=−92x_{98} = -92
x99=98x_{99} = 98
x100=−2x_{100} = -2
x101=8x_{101} = 8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(pi*x)*sign(2*x^2 - x).
sin⁡(0π)sign⁡(2⋅02−0)\sin{\left(0 \pi \right)} \operatorname{sign}{\left(2 \cdot 0^{2} - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(8x−2)sin⁡(πx)δ(2x2−x)+πcos⁡(πx)sign⁡(2x2−x)=0\left(8 x - 2\right) \sin{\left(\pi x \right)} \delta\left(2 x^{2} - x\right) + \pi \cos{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4π(4x−1)cos⁡(πx)δ(x(2x−1))+2((4x−1)2δ(1)(x(2x−1))+4δ(x(2x−1)))sin⁡(πx)−π2sin⁡(πx)sign⁡(x(2x−1))=04 \pi \left(4 x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} \delta\left(x \left(2 x - 1\right)\right) + 2 \left(\left(4 x - 1\right)^{2} \delta^{\left( 1 \right)}\left( x \left(2 x - 1\right) \right) + 4 \delta\left(x \left(2 x - 1\right)\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)} - \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(x \left(2 x - 1\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(pi*x)*sign(2*x^2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)=−sin⁡(πx)sign⁡(2x2+x)\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)} = - \sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} + x \right)}
- No
sin⁡(πx)sign⁡(2x2−x)=sin⁡(πx)sign⁡(2x2+x)\sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} - x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 x^{2} + x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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