Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x*(x-3)^2)

Gráfico de la función y = cbrt(x*(x-3)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________
       3 /          2 
f(x) = \/  x*(x - 3)
f(x)=x(x−3)23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} 
f = (x*(x - 3)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−3)23=0\sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x - 3)^2)^(1/3).
0(−3)23\sqrt[3]{0 \left(-3\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3∣x−3∣23(x(2x−6)3+(x−3)23)x(x−3)2=0\frac{\sqrt[3]{x} \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{x \left(2 x - 6\right)}{3} + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{3}\right)}{x \left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
     2/3 
(1, 2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−1)(2x3sign⁡(x−3)∣x−3∣3+∣x−3∣23x23)3x+2(x−2)∣x−3∣23x23(x−3)−2(x−1)∣x−3∣23x23(x−3)−(x−1)∣x−3∣23x53x−3=0\frac{\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x} \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 3}\right|}} + \frac{\left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 x} + \frac{2 \left(x - 2\right) \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} \left(x - 3\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} \left(x - 3\right)} - \frac{\left(x - 1\right) \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=28312.4180756839x_{1} = 28312.4180756839
x2=13894.7822076198x_{2} = 13894.7822076198
x3=13046.1058728855x_{3} = 13046.1058728855
x4=31703.6941310393x_{4} = 31703.6941310393
x5=26616.6976354953x_{5} = 26616.6976354953
x6=32551.4850871246x_{6} = 32551.4850871246
x7=39333.5222163253x_{7} = 39333.5222163253
x8=24072.9811631572x_{8} = 24072.9811631572
x9=17288.4293999097x_{9} = 17288.4293999097
x10=30855.8928801202x_{10} = 30855.8928801202
x11=22377.0555126879x_{11} = 22377.0555126879
x12=19832.9358925187x_{12} = 19832.9358925187
x13=14743.3343328081x_{13} = 14743.3343328081
x14=35094.8036695791x_{14} = 35094.8036695791
x15=34247.0391824066x_{15} = 34247.0391824066
x16=29160.2558890645x_{16} = 29160.2558890645
x17=23225.0314869431x_{17} = 23225.0314869431
x18=24920.9072369697x_{18} = 24920.9072369697
x19=18984.8177704691x_{19} = 18984.8177704691
x20=38485.7908290457x_{20} = 38485.7908290457
x21=27464.5657873977x_{21} = 27464.5657873977
x22=25768.8120477321x_{22} = 25768.8120477321
x23=12197.279188151x_{23} = 12197.279188151
x24=16440.1433561125x_{24} = 16440.1433561125
x25=30008.0804587406x_{25} = 30008.0804587406
x26=18136.6513244594x_{26} = 18136.6513244594
x27=36790.3104256313x_{27} = 36790.3104256313
x28=35942.5605754563x_{28} = 35942.5605754563
x29=41876.6854137366x_{29} = 41876.6854137366
x30=33399.2665348089x_{30} = 33399.2665348089
x31=40181.2482245339x_{31} = 40181.2482245339
x32=20681.0116654486x_{32} = 20681.0116654486
x33=37638.0536982079x_{33} = 37638.0536982079
x34=15591.7826590927x_{34} = 15591.7826590927
x35=21529.0501179372x_{35} = 21529.0501179372
x36=41028.9691879557x_{36} = 41028.9691879557

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[35094.8036695791,∞)\left[35094.8036695791, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13894.7822076198]\left(-\infty, 13894.7822076198\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x(x−3)23=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞x(x−3)23=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 3)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3∣x−3∣23x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x} \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x3∣x−3∣23x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x} \left|{x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−3)23=−x3∣x+3∣23\sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} = \sqrt[3]{- x} \left|{x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
x(x−3)23=−−x3∣x+3∣23\sqrt[3]{x \left(x - 3\right)^{2}} = - \sqrt[3]{- x} \left|{x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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