Sr Examen

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(x+1)/(x^2+2x)
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)/(x^2+2x)

Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2+2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x + 1  
f(x) = --------
        2      
       x  + 2*x
f(x)=x+1x2+2xf{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} 
f = (x + 1)/(x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+1x2+2x=0\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)/(x^2 + 2*x).
102+0⋅2\frac{1}{0^{2} + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−2)(x+1)(x2+2x)2+1x2+2x=0\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3−4(x+1)2x(x+2))(x+1)x2(x+2)2=0- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0

lim⁡x→−2−(−2(3−4(x+1)2x(x+2))(x+1)x2(x+2)2)=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(−2(3−4(x+1)2x(x+2))(x+1)x2(x+2)2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→0−(−2(3−4(x+1)2x(x+2))(x+1)x2(x+2)2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−2(3−4(x+1)2x(x+2))(x+1)x2(x+2)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0x_{2} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Convexa en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x2+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+1x2+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/(x^2 + 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x(x2+2x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+1x(x2+2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+1x2+2x=1−xx2−2x\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}
- No
x+1x2+2x=−1−xx2−2x\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2+2x)
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