Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
- Derivada de:
-
(x+1)/(x^2+2x)
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno)/(x^ dos +2x)
- (x más 1) dividir por (x al cuadrado más 2x)
- (x más uno) dividir por (x en el grado dos más 2x)
- (x+1)/(x2+2x)
- x+1/x2+2x
- (x+1)/(x²+2x)
- (x+1)/(x en el grado 2+2x)
- x+1/x^2+2x
- (x+1) dividir por (x^2+2x)
-
Expresiones semejantes
- (x-1)/(x^2+2x)
- (x+1)/(x^2-2x)
Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2+2x)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 1
f(x) = --------
2
x + 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}$$
f = (x + 1)/(x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/(x^2 + 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}$$
- No
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}$$
- No
$$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico