Sr Examen

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sqrt(-x^2/(1+x^2))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-x^2/(1+x^2))

Gráfico de la función y = sqrt(-x^2/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ________
            /    2   
           /   -x    
f(x) =    /   ------ 
         /         2 
       \/     1 + x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}}$$ 
f = sqrt((-x^2)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((-x^2)/(1 + x^2)).
$$\sqrt{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{0^{2} + 1}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{i \left|{x}\right|}{\sqrt{x^{2} + 1}} \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{i \left(- \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \left|{x}\right|}{x^{2} + 1} + \frac{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|}{x^{2} + 1} - \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \left|{x}\right|}{x^{2}} + \frac{\left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right) \left|{x}\right|}{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}} = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = i$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}} = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = i$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((-x^2)/(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{i \left|{x}\right| \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{i \left|{x}\right| \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}}$$
- Sí
$$\sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}} = - \sqrt{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x^{2} + 1}}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(-x^2/(1+x^2))
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