Sr Examen

Gráfico de la función y = y^2-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2    
f(y) = y  - 2
f(y)=y22f{\left(y \right)} = y^{2} - 2
f = y^2 - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
y22=0y^{2} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=2y_{1} = - \sqrt{2}
y2=2y_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
y1=1.4142135623731y_{1} = 1.4142135623731
y2=1.4142135623731y_{2} = -1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en y^2 - 2.
2+02-2 + 0^{2}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2y=02 y = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=0y_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2=02 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
limy(y22)=\lim_{y \to -\infty}\left(y^{2} - 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limy(y22)=\lim_{y \to \infty}\left(y^{2} - 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y^2 - 2, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
limy(y22y)=\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y^{2} - 2}{y}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limy(y22y)=\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y^{2} - 2}{y}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
y22=y22y^{2} - 2 = y^{2} - 2
- Sí
y22=2y2y^{2} - 2 = 2 - y^{2}
- No
es decir, función
es
par