Sr Examen

Gráfico de la función y = cos(x^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          / x\
f(x) = cos\x /
f(x)=cos(xx)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{x} \right)}
f = cos(x^x)
Gráfico de la función
100.0110.0101.0102.0103.0104.0105.0106.0107.0108.0109.02-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^x).
cos(00)\cos{\left(0^{0} \right)}
Resultado:
f(0)=cos(1)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx(log(x)+1)sin(xx)=0- x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e1x_{1} = e^{-1}
x2=eW(log(π))x_{2} = e^{W\left(\log{\left(\pi \right)}\right)}
Signos de extremos en los puntos:
         /   -1\ 
  -1     | -e  | 
(e , cos\e    /)

                 /             W(log(pi))\ 
  W(log(pi))     | W(log(pi))*e          | 
(e         , cos\e                      /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=eW(log(π))x_{1} = e^{W\left(\log{\left(\pi \right)}\right)}
Puntos máximos de la función:
x1=e1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(,e1][eW(log(π)),)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{W\left(\log{\left(\pi \right)}\right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[e1,eW(log(π))]\left[e^{-1}, e^{W\left(\log{\left(\pi \right)}\right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xx(xx(log(x)+1)2cos(xx)+(log(x)+1)2sin(xx)+sin(xx)x)=0- x^{x} \left(x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(x^{x} \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x^{x} \right)} + \frac{\sin{\left(x^{x} \right)}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3.71283672204539x_{1} = 3.71283672204539
x2=2.12268426130926x_{2} = 2.12268426130926

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,2.12268426130926]\left(-\infty, 2.12268426130926\right]
Convexa en los intervalos
[3.71283672204539,)\left[3.71283672204539, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxcos(xx)=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x^{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxcos(xx)=1,1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x^{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(cos(xx)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(cos(xx)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos(xx)=cos((x)x)\cos{\left(x^{x} \right)} = \cos{\left(\left(- x\right)^{- x} \right)}
- No
cos(xx)=cos((x)x)\cos{\left(x^{x} \right)} = - \cos{\left(\left(- x\right)^{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar