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x/(x^2+5)
Trazado el gráfico de la función/ x/(x^2+5)

Gráfico de la función y = x/(x^2+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x   
f(x) = ------
        2    
       x  + 5
f(x)=xx2+5f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} + 5} 
f = x/(x^2 + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2+5=0\frac{x}{x^{2} + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x^2 + 5).
002+5\frac{0}{0^{2} + 5}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x2(x2+5)2+1x2+5=0- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5x_{1} = - \sqrt{5}
x2=5x_{2} = \sqrt{5}
Signos de extremos en los puntos:
            ___  
    ___  -\/ 5   
(-\/ 5, -------)
            10   

          ___ 
   ___  \/ 5  
(\/ 5, -----)
          10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5x_{1} = - \sqrt{5}
Puntos máximos de la función:
x1=5x_{1} = \sqrt{5}
Decrece en los intervalos
[−5,5]\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−5]∪[5,∞)\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(4x2x2+5−3)(x2+5)2=0\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} - 3\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−15x_{2} = - \sqrt{15}
x3=15x_{3} = \sqrt{15}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−15,0]∪[15,∞)\left[- \sqrt{15}, 0\right] \cup \left[\sqrt{15}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−15]∪[0,15]\left(-\infty, - \sqrt{15}\right] \cup \left[0, \sqrt{15}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx2+5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xx2+5)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x2+5=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x2+5=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2+5=−xx2+5\frac{x}{x^{2} + 5} = - \frac{x}{x^{2} + 5}
- No
xx2+5=xx2+5\frac{x}{x^{2} + 5} = \frac{x}{x^{2} + 5}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(x^2+5)
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