Sr Examen

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sqrt(x^2-6*x+13)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2-6*x+13)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2-6*x+13)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _______________
         /  2            
f(x) = \/  x  - 6*x + 13
f(x)=(x2−6x)+13f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} 
f = sqrt(x^2 - 6*x + 13)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−6x)+13=0\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 - 6*x + 13).
(02−0)+13\sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 13}
Resultado:
f(0)=13f{\left(0 \right)} = \sqrt{13}
Punto:
(0, sqrt(13))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−3(x2−6x)+13=0\frac{x - 3}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(3, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x−3)2x2−6x+13+1x2−6x+13=0\frac{- \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 6 x + 13} + 1}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 13}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−6x)+13=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−6x)+13=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 - 6*x + 13), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−6x)+13x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((x2−6x)+13x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−6x)+13=x2+6x+13\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} = \sqrt{x^{2} + 6 x + 13}
- No
(x2−6x)+13=−x2+6x+13\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 13} = - \sqrt{x^{2} + 6 x + 13}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x^2-6*x+13)
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