Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin^2(x)-3*sin(x)+2

Gráfico de la función y = sin^2(x)-3*sin(x)+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2                  
f(x) = sin (x) - 3*sin(x) + 2
f(x)=(sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2f{\left(x \right)} = \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2 
f = sin(x)^2 - 3*sin(x) + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2=0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=1.57079536523077x_{1} = 1.57079536523077
x2=58.1194643770702x_{2} = 58.1194643770702
x3=−29.8451289073854x_{3} = -29.8451289073854
x4=−23.561945016053x_{4} = -23.561945016053
x5=7.85398046563447x_{5} = 7.85398046563447
x6=83.2522046289214x_{6} = 83.2522046289214
x7=−73.8274286445858x_{7} = -73.8274286445858
x8=−61.2610571936019x_{8} = -61.2610571936019
x9=14.1371656591617x_{9} = 14.1371656591617
x10=20.4203521441984x_{10} = 20.4203521441984
x11=83.2522058456645x_{11} = 83.2522058456645
x12=95.8185771224127x_{12} = 95.8185771224127
x13=−80.1106138557219x_{13} = -80.1106138557219
x14=−67.5442421763137x_{14} = -67.5442421763137
x15=89.5353911752829x_{15} = 89.5353911752829
x16=76.9690207793905x_{16} = 76.9690207793905
x17=−17.2787601164358x_{17} = -17.2787601164358
x18=51.8362776268483x_{18} = 51.8362776268483
x19=70.6858340517028x_{19} = 70.6858340517028
x20=−17.2787586177095x_{20} = -17.2787586177095
x21=58.1194653976648x_{21} = 58.1194653976648
x22=−73.8274260609448x_{22} = -73.8274260609448
x23=−54.9778707171509x_{23} = -54.9778707171509
x24=−80.1106125755117x_{24} = -80.1106125755117
x25=1.57079785005069x_{25} = 1.57079785005069
x26=−23.561946075942x_{26} = -23.561946075942
x27=70.6858357115182x_{27} = 70.6858357115182
x28=−61.2610557825211x_{28} = -61.2610557825211
x29=89.5353909435736x_{29} = 89.5353909435736
x30=70.6858344445529x_{30} = 70.6858344445529
x31=−29.8451300938139x_{31} = -29.8451300938139
x32=−117.80972560988x_{32} = -117.80972560988
x33=83.2522058481918x_{33} = 83.2522058481918
x34=32.9867236138576x_{34} = 32.9867236138576
x35=−36.1283142806347x_{35} = -36.1283142806347
x36=−92.676982808917x_{36} = -92.676982808917
x37=−4.71238848059836x_{37} = -4.71238848059836
x38=95.8185760701987x_{38} = 95.8185760701987
x39=45.553094091839x_{39} = 45.553094091839
x40=−48.6946868672216x_{40} = -48.6946868672216
x41=−92.6769845303487x_{41} = -92.6769845303487
x42=−73.8274272794653x_{42} = -73.8274272794653
x43=−92.6769840326577x_{43} = -92.6769840326577
x44=−23.5619437177603x_{44} = -23.5619437177603
x45=39.2699086837397x_{45} = 39.2699086837397
x46=1.57079661901596x_{46} = 1.57079661901596
x47=1.57079700398873x_{47} = 1.57079700398873
x48=64.4026493044641x_{48} = 64.4026493044641
x49=−80.1106114181945x_{49} = -80.1106114181945
x50=−86.3937977050157x_{50} = -86.3937977050157
x51=−10.9955747752993x_{51} = -10.9955747752993
x52=89.5353896949152x_{52} = 89.5353896949152
x53=7.85398174770883x_{53} = 7.85398174770883
x54=−61.2610570407565x_{54} = -61.2610570407565
x55=45.5530937812277x_{55} = 45.5530937812277
x56=58.1194628121746x_{56} = 58.1194628121746
x57=−86.3937971842945x_{57} = -86.3937971842945
x58=39.2699074635758x_{58} = 39.2699074635758
x59=32.9867223887206x_{59} = 32.9867223887206
x60=−17.2787598788452x_{60} = -17.2787598788452
x61=−42.4115000881114x_{61} = -42.4115000881114
x62=20.4203510568788x_{62} = 20.4203510568788
x63=−42.4115017994301x_{63} = -42.4115017994301
x64=−36.1283166952282x_{64} = -36.1283166952282
x65=−54.9778719394428x_{65} = -54.9778719394428
x66=14.1371682454946x_{66} = 14.1371682454946
x67=−36.1283154137715x_{67} = -36.1283154137715
x68=14.1371671181822x_{68} = 14.1371671181822
x69=−67.544243206816x_{69} = -67.544243206816
x70=51.8362799897705x_{70} = 51.8362799897705
x71=102.101759965899x_{71} = 102.101759965899
x72=−10.9955735516589x_{72} = -10.9955735516589
x73=−98.9601691037059x_{73} = -98.9601691037059
x74=95.8185747883961x_{74} = 95.8185747883961
x75=7.85398285538609x_{75} = 7.85398285538609
x76=26.703537282924x_{76} = 26.703537282924
x77=−325.154840065363x_{77} = -325.154840065363
x78=−29.8451314931042x_{78} = -29.8451314931042
x79=20.4203534431639x_{79} = 20.4203534431639
x80=45.5530925300164x_{80} = 45.5530925300164
x81=26.7035385469741x_{81} = 26.7035385469741
x82=64.4026481915252x_{82} = 64.4026481915252
x83=64.4026506037314x_{83} = 64.4026506037314
x84=−4.71238970180774x_{84} = -4.71238970180774
x85=−67.544240879025x_{85} = -67.544240879025
x86=26.7035369653861x_{86} = 26.7035369653861
x87=−42.4115005430641x_{87} = -42.4115005430641
x88=51.8362789090115x_{88} = 51.8362789090115
x89=−48.6946856448184x_{89} = -48.6946856448184
x90=−98.9601678826108x_{90} = -98.9601678826108
x91=76.9690195526133x_{91} = 76.9690195526133
x92=−86.3937989639545x_{92} = -86.3937989639545
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 - 3*sin(x) + 2.
(sin⁡2(0)−3sin⁡(0))+2\left(\sin^{2}{\left(0 \right)} - 3 \sin{\left(0 \right)}\right) + 2
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)−3cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 6)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)+3sin⁡(x)+2cos⁡2(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(34+414+217+3414)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} \right)}
x2=−2atan⁡(−217+3414+34+414)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(34+414+217+3414)]∪[−2atan⁡(−217+3414+34+414),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2atan⁡(34+414+217+3414),−2atan⁡(−217+3414+34+414)]\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 + 3 \sqrt{41}}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2)=⟨−1,6⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2\right) = \left\langle -1, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,6⟩y = \left\langle -1, 6\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2)=⟨−1,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2\right) = \left\langle -1, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,6⟩y = \left\langle -1, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 - 3*sin(x) + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2=sin⁡2(x)+3sin⁡(x)+2\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2 = \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 2
- No
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x))+2=−sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−2\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) + 2 = - \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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