Sr Examen
Gráfico de la función y = 2^(log(2)/log(x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
log(2)
-------
/ 2\
log\x /
f(x) = 2
$$f{\left(x \right)} = 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}$$
f = 2^(log(2)/log(x^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}\right] \cup \left[e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}, e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}\right] \cup \left[e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{-1 - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}, e^{-1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^(log(2)/log(x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}$$
- Sí
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = - 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}$$
- Sí
$$2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}} = - 2^{\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}$$
- No
es decir, función
es
par