Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2-1/x+3/x^3

Gráfico de la función y = 2-1/x+3/x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1   3 
f(x) = 2 - - + --
           x    3
               x
f(x)=(2−1x)+3x3f{\left(x \right)} = \left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}} 
f = 2 - 1/x + 3/x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2−1x)+3x3=0\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2 - 1/x + 3/x^3.
303+(2−10)\frac{3}{0^{3}} + \left(2 - \frac{1}{0}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x2−9x4=0\frac{1}{x^{2}} - \frac{9}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 20/9)

(3, 16/9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[3,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,3]\left[-3, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1+18x2)x3=0\frac{2 \left(-1 + \frac{18}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - 3 \sqrt{2}
x2=32x_{2} = 3 \sqrt{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−1+18x2)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{18}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(−1+18x2)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{18}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−32]\left(-\infty, - 3 \sqrt{2}\right]
Convexa en los intervalos
[32,∞)\left[3 \sqrt{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2−1x)+3x3)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞((2−1x)+3x3)=2\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 - 1/x + 3/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2−1x)+3x3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2−1x)+3x3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2−1x)+3x3=2+1x−3x3\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}} = 2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}
- No
(2−1x)+3x3=−2−1x+3x3\left(2 - \frac{1}{x}\right) + \frac{3}{x^{3}} = -2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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