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Trazado el gráfico de la función/ 1/6+x³+(x²-5)

Gráfico de la función y = 1/6+x³+(x²-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1    3    2    
f(x) = - + x  + x  - 5
       6
f(x)=(x2−5)+(x3+16)f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right) 
f = x^2 - 5 + x^3 + 1/6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−5)+(x3+16)=0\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13+19733736+2571083+733736+2571083x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{7337}}{36} + \frac{257}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{7337}}{36} + \frac{257}{108}}
Solución numérica
x1=1.41476910758038x_{1} = 1.41476910758038
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/6 + x^3 + x^2 - 5.
(−5+02)+(03+16)\left(-5 + 0^{2}\right) + \left(0^{3} + \frac{1}{6}\right)
Resultado:
f(0)=−296f{\left(0 \right)} = - \frac{29}{6}
Punto:
(0, -29/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+2x=03 x^{2} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
       -253  
(-2/3, -----)
         54  

(0, -29/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−23]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−23,0]\left[- \frac{2}{3}, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+1)=02 \left(3 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−13,∞)\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−5)+(x3+16))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−5)+(x3+16))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/6 + x^3 + x^2 - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−5)+(x3+16)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−5)+(x3+16)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−5)+(x3+16)=−x3+x2−296\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right) = - x^{3} + x^{2} - \frac{29}{6}
- No
(x2−5)+(x3+16)=x3−x2+296\left(x^{2} - 5\right) + \left(x^{3} + \frac{1}{6}\right) = x^{3} - x^{2} + \frac{29}{6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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