Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/4+4/x
-
x^3-3*x^2+5
-
x^3/(4(2-x)^2)
-
x^3+9x-1
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x(uno -x^ dos))
- raíz cuadrada de (x(1 menos x al cuadrado ))
- raíz cuadrada de (x(uno menos x en el grado dos))
- √(x(1-x^2))
- sqrt(x(1-x2))
- sqrtx1-x2
- sqrt(x(1-x²))
- sqrt(x(1-x en el grado 2))
- sqrtx1-x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x(1+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+sqrt(1+2*x))
- sqrt(x/1.4)*e^(-x/1.4)/1.4
- sqrt(x^2+1)*ln(x+sqrt(x^2+1))
- sqrt(x)(x-3)
- sqrt((x-2)^2)/(x-2)
Gráfico de la función y = sqrt(x(1-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
____________
/ / 2\
f(x) = \/ x*\1 - x /
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)}$$
f = sqrt(x*(1 - x^2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{i}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt[3]{i}}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{i}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt[3]{i}}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} \left(\frac{1}{2} - \frac{3 x^{2}}{2}\right)}{x \left(1 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} \left(\frac{1}{2} - \frac{3 x^{2}}{2}\right)}{x \left(1 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ 3/4 ___
-\/ 3 I*3 *\/ 6
(-------, ------------)
3 9 ___ 3/4 ___ \/ 3 3 *\/ 6 (-----, ----------) 3 9
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{- x \left(x^{2} - 1\right)} \left(3 - \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 1} - \frac{3 x^{2} - 1}{2 x^{2}} + \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{- x \left(x^{2} - 1\right)} \left(3 - \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 1} - \frac{3 x^{2} - 1}{2 x^{2}} + \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x*(1 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \sqrt{- x \left(1 - x^{2}\right)}$$
- No
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = - \sqrt{- x \left(1 - x^{2}\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = \sqrt{- x \left(1 - x^{2}\right)}$$
- No
$$\sqrt{x \left(1 - x^{2}\right)} = - \sqrt{- x \left(1 - x^{2}\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar