Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (- uno -cos(x))/x^ tres
- ( menos 1 menos coseno de (x)) dividir por x al cubo
- ( menos uno menos coseno de (x)) dividir por x en el grado tres
- (-1-cos(x))/x3
- -1-cosx/x3
- (-1-cos(x))/x³
- (-1-cos(x))/x en el grado 3
- -1-cosx/x^3
- (-1-cos(x)) dividir por x^3
-
Expresiones semejantes
- (-1+cos(x))/x^3
- (1-cos(x))/x^3
- (-1-cosx)/x^3
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(3*z)
- cos(x)*((2*x^3-5)^3)^4
- cos2x-sinx
- cos(x-1)-2
- cos(x)-(1+2x^2)^(1/4)
Gráfico de la función y = (-1-cos(x))/x^3
Solución
Ha introducido
[src]
-1 - cos(x)
f(x) = -----------
3
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}$$
f = (-cos(x) - 1)/x^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -78.5398153894579$$
$$x_{2} = -47.1238986800577$$
$$x_{3} = 3.141591496203$$
$$x_{4} = 47.1238901884455$$
$$x_{5} = -15.7079632962567$$
$$x_{6} = -97.3893717160488$$
$$x_{7} = 59.6902598572919$$
$$x_{8} = 53.407074602786$$
$$x_{9} = 97.3893721745645$$
$$x_{10} = 72.2566310277155$$
$$x_{11} = 21.9911482907622$$
$$x_{12} = 84.8230013568118$$
$$x_{13} = -40.8407072269748$$
$$x_{14} = -116.238927904696$$
$$x_{15} = 21.9911488739842$$
$$x_{16} = -34.5575196610773$$
$$x_{17} = 97.3893725741756$$
$$x_{18} = -15.7079624377685$$
$$x_{19} = 28.2743332641658$$
$$x_{20} = -2334.20334291192$$
$$x_{21} = 78.5398168147997$$
$$x_{22} = -9.42477764607965$$
$$x_{23} = 65.9734458772162$$
$$x_{24} = -9.42477811581359$$
$$x_{25} = -116.238928747448$$
$$x_{26} = 28.2743341948265$$
$$x_{27} = 78.5398161783123$$
$$x_{28} = 47.1238893842218$$
$$x_{29} = -72.2566308631921$$
$$x_{30} = -34.5575188707681$$
$$x_{31} = -72.2566314968061$$
$$x_{32} = 103.672556745932$$
$$x_{33} = -15.7079602650305$$
$$x_{34} = -34.5575196069889$$
$$x_{35} = 21.9911485851755$$
$$x_{36} = 59.6902593569372$$
$$x_{37} = -59.690260457629$$
$$x_{38} = 9.42477687669227$$
$$x_{39} = 354.999968063691$$
$$x_{40} = -47.1238892817945$$
$$x_{41} = 72.2566314467486$$
$$x_{42} = -97.3893724507843$$
$$x_{43} = -59.6902604870089$$
$$x_{44} = 34.5575196158589$$
$$x_{45} = -59.6902598423497$$
$$x_{46} = -65.9734452405333$$
$$x_{47} = 91.1061873567288$$
$$x_{48} = -40.8407048701465$$
$$x_{49} = -65.9734461164612$$
$$x_{50} = 34.5575190163577$$
$$x_{51} = -3.14159279790805$$
$$x_{52} = -39637.4744613621$$
$$x_{53} = 15.7079634378574$$
$$x_{54} = 9.42477820368308$$
$$x_{55} = 72.2566305794936$$
$$x_{56} = 47.1238881370041$$
$$x_{57} = 40.8407041911131$$
$$x_{58} = 9.42477721314894$$
$$x_{59} = -53.4070745362574$$
$$x_{60} = -21.9911478628404$$
$$x_{61} = -78.5398160394446$$
$$x_{62} = -21.9911485864039$$
$$x_{63} = 65.9734457529054$$
$$x_{64} = -53.407075290761$$
$$x_{65} = -72.2566308926902$$
$$x_{66} = -40.8407040630831$$
$$x_{67} = 59.6902606062886$$
$$x_{68} = -28.2743336994448$$
$$x_{69} = -84.8230012365264$$
$$x_{70} = -3.14159047055643$$
$$x_{71} = -91.1061872578797$$
$$x_{72} = 21.9911478600072$$
$$x_{73} = -9.4247770072291$$
$$x_{74} = 78.5398163004214$$
$$x_{75} = 53.4070754116207$$
$$x_{76} = -53.4070737434634$$
$$x_{77} = 40.8407049289347$$
$$x_{78} = 97.3893717754184$$
$$x_{79} = -28.2743342815076$$
$$x_{80} = -28.2743334339593$$
$$x_{81} = -78.5398174722281$$
$$x_{82} = -78.5398167921365$$
$$x_{83} = 34.5575188844436$$
$$x_{84} = 53.4070872303504$$
$$x_{85} = 15.7079625304308$$
$$x_{86} = -97.3893711480408$$
$$x_{87} = -84.8230020409408$$
$$x_{88} = 91.106186553725$$
$$x_{89} = -91.106186458973$$
$$x_{90} = -47.1238900945067$$
$$x_{91} = 84.8230021077614$$
$$x_{92} = -15.707962145847$$
$$x_{93} = 28.2743338651116$$
$$x_{94} = -53.4070765670325$$
$$x_{95} = 40.8407053715323$$
$$x_{96} = 3.14159275476265$$
$$x_{97} = 65.9734451663027$$
$$x_{98} = -21.9911488037302$$
$$x_{99} = 84.8230027570787$$
$$x_{100} = -65.9734457647733$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -78.5398153894579$$
$$x_{2} = -47.1238986800577$$
$$x_{3} = 3.141591496203$$
$$x_{4} = 47.1238901884455$$
$$x_{5} = -15.7079632962567$$
$$x_{6} = -97.3893717160488$$
$$x_{7} = 59.6902598572919$$
$$x_{8} = 53.407074602786$$
$$x_{9} = 97.3893721745645$$
$$x_{10} = 72.2566310277155$$
$$x_{11} = 21.9911482907622$$
$$x_{12} = 84.8230013568118$$
$$x_{13} = -40.8407072269748$$
$$x_{14} = -116.238927904696$$
$$x_{15} = 21.9911488739842$$
$$x_{16} = -34.5575196610773$$
$$x_{17} = 97.3893725741756$$
$$x_{18} = -15.7079624377685$$
$$x_{19} = 28.2743332641658$$
$$x_{20} = -2334.20334291192$$
$$x_{21} = 78.5398168147997$$
$$x_{22} = -9.42477764607965$$
$$x_{23} = 65.9734458772162$$
$$x_{24} = -9.42477811581359$$
$$x_{25} = -116.238928747448$$
$$x_{26} = 28.2743341948265$$
$$x_{27} = 78.5398161783123$$
$$x_{28} = 47.1238893842218$$
$$x_{29} = -72.2566308631921$$
$$x_{30} = -34.5575188707681$$
$$x_{31} = -72.2566314968061$$
$$x_{32} = 103.672556745932$$
$$x_{33} = -15.7079602650305$$
$$x_{34} = -34.5575196069889$$
$$x_{35} = 21.9911485851755$$
$$x_{36} = 59.6902593569372$$
$$x_{37} = -59.690260457629$$
$$x_{38} = 9.42477687669227$$
$$x_{39} = 354.999968063691$$
$$x_{40} = -47.1238892817945$$
$$x_{41} = 72.2566314467486$$
$$x_{42} = -97.3893724507843$$
$$x_{43} = -59.6902604870089$$
$$x_{44} = 34.5575196158589$$
$$x_{45} = -59.6902598423497$$
$$x_{46} = -65.9734452405333$$
$$x_{47} = 91.1061873567288$$
$$x_{48} = -40.8407048701465$$
$$x_{49} = -65.9734461164612$$
$$x_{50} = 34.5575190163577$$
$$x_{51} = -3.14159279790805$$
$$x_{52} = -39637.4744613621$$
$$x_{53} = 15.7079634378574$$
$$x_{54} = 9.42477820368308$$
$$x_{55} = 72.2566305794936$$
$$x_{56} = 47.1238881370041$$
$$x_{57} = 40.8407041911131$$
$$x_{58} = 9.42477721314894$$
$$x_{59} = -53.4070745362574$$
$$x_{60} = -21.9911478628404$$
$$x_{61} = -78.5398160394446$$
$$x_{62} = -21.9911485864039$$
$$x_{63} = 65.9734457529054$$
$$x_{64} = -53.407075290761$$
$$x_{65} = -72.2566308926902$$
$$x_{66} = -40.8407040630831$$
$$x_{67} = 59.6902606062886$$
$$x_{68} = -28.2743336994448$$
$$x_{69} = -84.8230012365264$$
$$x_{70} = -3.14159047055643$$
$$x_{71} = -91.1061872578797$$
$$x_{72} = 21.9911478600072$$
$$x_{73} = -9.4247770072291$$
$$x_{74} = 78.5398163004214$$
$$x_{75} = 53.4070754116207$$
$$x_{76} = -53.4070737434634$$
$$x_{77} = 40.8407049289347$$
$$x_{78} = 97.3893717754184$$
$$x_{79} = -28.2743342815076$$
$$x_{80} = -28.2743334339593$$
$$x_{81} = -78.5398174722281$$
$$x_{82} = -78.5398167921365$$
$$x_{83} = 34.5575188844436$$
$$x_{84} = 53.4070872303504$$
$$x_{85} = 15.7079625304308$$
$$x_{86} = -97.3893711480408$$
$$x_{87} = -84.8230020409408$$
$$x_{88} = 91.106186553725$$
$$x_{89} = -91.106186458973$$
$$x_{90} = -47.1238900945067$$
$$x_{91} = 84.8230021077614$$
$$x_{92} = -15.707962145847$$
$$x_{93} = 28.2743338651116$$
$$x_{94} = -53.4070765670325$$
$$x_{95} = 40.8407053715323$$
$$x_{96} = 3.14159275476265$$
$$x_{97} = 65.9734451663027$$
$$x_{98} = -21.9911488037302$$
$$x_{99} = 84.8230027570787$$
$$x_{100} = -65.9734457647733$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \left(- \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -75.3186041804901$$
$$x_{2} = 81.6079198094314$$
$$x_{3} = -24.8928651811575$$
$$x_{4} = -100.471264085445$$
$$x_{5} = 40.8407044966673$$
$$x_{6} = 53.4070751110265$$
$$x_{7} = 97.3893722612836$$
$$x_{8} = 34.5575191894877$$
$$x_{9} = 47.1238898038469$$
$$x_{10} = -62.7362874405728$$
$$x_{11} = -97.3893722612836$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = 12.0795120816332$$
$$x_{15} = 65.9734457253857$$
$$x_{16} = -69.0281720102481$$
$$x_{17} = 100.471264085445$$
$$x_{18} = 62.7362874405728$$
$$x_{19} = -94.1840961163538$$
$$x_{20} = 37.5396196644034$$
$$x_{21} = 18.5285168299698$$
$$x_{22} = -53.4070751110265$$
$$x_{23} = -9.42477796076938$$
$$x_{24} = 5.24388943952117$$
$$x_{25} = 50.1459742160797$$
$$x_{26} = -34.5575191894877$$
$$x_{27} = 24.8928651811575$$
$$x_{28} = 21.9911485751286$$
$$x_{29} = -47.1238898038469$$
$$x_{30} = 28.2743338823081$$
$$x_{31} = -3.14159265358979$$
$$x_{32} = -103.672557568463$$
$$x_{33} = -12.0795120816332$$
$$x_{34} = -65.9734457253857$$
$$x_{35} = 72.2566310325652$$
$$x_{36} = -59.6902604182061$$
$$x_{37} = 31.2243568800933$$
$$x_{38} = -50.1459742160797$$
$$x_{39} = 43.8456664725751$$
$$x_{40} = 75.3186041804901$$
$$x_{41} = -91.106186954104$$
$$x_{42} = -40.8407044966673$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = -56.4424647590253$$
$$x_{45} = 91.106186954104$$
$$x_{46} = 78.5398163397448$$
$$x_{47} = 84.8230016469244$$
$$x_{48} = -37.5396196644034$$
$$x_{49} = 87.8963585754007$$
$$x_{50} = -87.8963585754007$$
$$x_{51} = -5.24388943952117$$
$$x_{52} = 9.42477796076938$$
$$x_{53} = 69.0281720102481$$
$$x_{54} = -84.8230016469244$$
$$x_{55} = 56.4424647590253$$
$$x_{56} = -18.5285168299698$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = 15.707963267949$$
$$x_{59} = 94.1840961163538$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = -15.707963267949$$
$$x_{62} = -43.8456664725751$$
$$x_{63} = -72.2566310325652$$
$$x_{64} = -81.6079198094314$$
$$x_{65} = -31.2243568800933$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 81.6079198094314$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = 12.0795120816332$$
$$x_{5} = 100.471264085445$$
$$x_{6} = 62.7362874405728$$
$$x_{7} = 37.5396196644034$$
$$x_{8} = 18.5285168299698$$
$$x_{9} = -53.4070751110265$$
$$x_{10} = -9.42477796076938$$
$$x_{11} = 5.24388943952117$$
$$x_{12} = 50.1459742160797$$
$$x_{13} = -34.5575191894877$$
$$x_{14} = 24.8928651811575$$
$$x_{15} = -47.1238898038469$$
$$x_{16} = -3.14159265358979$$
$$x_{17} = -103.672557568463$$
$$x_{18} = -65.9734457253857$$
$$x_{19} = -59.6902604182061$$
$$x_{20} = 31.2243568800933$$
$$x_{21} = 43.8456664725751$$
$$x_{22} = 75.3186041804901$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -40.8407044966673$$
$$x_{25} = 87.8963585754007$$
$$x_{26} = 69.0281720102481$$
$$x_{27} = -84.8230016469244$$
$$x_{28} = 56.4424647590253$$
$$x_{29} = -78.5398163397448$$
$$x_{30} = 94.1840961163538$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -15.707963267949$$
$$x_{33} = -72.2566310325652$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = -75.3186041804901$$
$$x_{33} = -24.8928651811575$$
$$x_{33} = -100.471264085445$$
$$x_{33} = 40.8407044966673$$
$$x_{33} = 53.4070751110265$$
$$x_{33} = 97.3893722612836$$
$$x_{33} = 34.5575191894877$$
$$x_{33} = 47.1238898038469$$
$$x_{33} = -62.7362874405728$$
$$x_{33} = 3.14159265358979$$
$$x_{33} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = -69.0281720102481$$
$$x_{33} = -94.1840961163538$$
$$x_{33} = 21.9911485751286$$
$$x_{33} = 28.2743338823081$$
$$x_{33} = -12.0795120816332$$
$$x_{33} = 72.2566310325652$$
$$x_{33} = -50.1459742160797$$
$$x_{33} = 59.6902604182061$$
$$x_{33} = -56.4424647590253$$
$$x_{33} = 91.106186954104$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{33} = 84.8230016469244$$
$$x_{33} = -37.5396196644034$$
$$x_{33} = -87.8963585754007$$
$$x_{33} = -5.24388943952117$$
$$x_{33} = 9.42477796076938$$
$$x_{33} = -18.5285168299698$$
$$x_{33} = 15.707963267949$$
$$x_{33} = -43.8456664725751$$
$$x_{33} = -81.6079198094314$$
$$x_{33} = -31.2243568800933$$
Decrece en los intervalos
$$\left[100.471264085445, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.672557568463\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \left(- \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -75.3186041804901$$
$$x_{2} = 81.6079198094314$$
$$x_{3} = -24.8928651811575$$
$$x_{4} = -100.471264085445$$
$$x_{5} = 40.8407044966673$$
$$x_{6} = 53.4070751110265$$
$$x_{7} = 97.3893722612836$$
$$x_{8} = 34.5575191894877$$
$$x_{9} = 47.1238898038469$$
$$x_{10} = -62.7362874405728$$
$$x_{11} = -97.3893722612836$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = 12.0795120816332$$
$$x_{15} = 65.9734457253857$$
$$x_{16} = -69.0281720102481$$
$$x_{17} = 100.471264085445$$
$$x_{18} = 62.7362874405728$$
$$x_{19} = -94.1840961163538$$
$$x_{20} = 37.5396196644034$$
$$x_{21} = 18.5285168299698$$
$$x_{22} = -53.4070751110265$$
$$x_{23} = -9.42477796076938$$
$$x_{24} = 5.24388943952117$$
$$x_{25} = 50.1459742160797$$
$$x_{26} = -34.5575191894877$$
$$x_{27} = 24.8928651811575$$
$$x_{28} = 21.9911485751286$$
$$x_{29} = -47.1238898038469$$
$$x_{30} = 28.2743338823081$$
$$x_{31} = -3.14159265358979$$
$$x_{32} = -103.672557568463$$
$$x_{33} = -12.0795120816332$$
$$x_{34} = -65.9734457253857$$
$$x_{35} = 72.2566310325652$$
$$x_{36} = -59.6902604182061$$
$$x_{37} = 31.2243568800933$$
$$x_{38} = -50.1459742160797$$
$$x_{39} = 43.8456664725751$$
$$x_{40} = 75.3186041804901$$
$$x_{41} = -91.106186954104$$
$$x_{42} = -40.8407044966673$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = -56.4424647590253$$
$$x_{45} = 91.106186954104$$
$$x_{46} = 78.5398163397448$$
$$x_{47} = 84.8230016469244$$
$$x_{48} = -37.5396196644034$$
$$x_{49} = 87.8963585754007$$
$$x_{50} = -87.8963585754007$$
$$x_{51} = -5.24388943952117$$
$$x_{52} = 9.42477796076938$$
$$x_{53} = 69.0281720102481$$
$$x_{54} = -84.8230016469244$$
$$x_{55} = 56.4424647590253$$
$$x_{56} = -18.5285168299698$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = 15.707963267949$$
$$x_{59} = 94.1840961163538$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = -15.707963267949$$
$$x_{62} = -43.8456664725751$$
$$x_{63} = -72.2566310325652$$
$$x_{64} = -81.6079198094314$$
$$x_{65} = -31.2243568800933$$
Signos de extremos en los puntos:
(-75.31860418049011, 4.67341930056756e-6)
(81.60791980943141, -3.67490884511663e-6)
(-24.892865181157465, 0.000127803549693016)
(-100.47126408544507, 1.97023197093293e-6)
(40.840704496667314, 0)
(53.40707511102649, 0)
(97.3893722612836, 0)
(34.55751918948773, 0)
(47.1238898038469, 0)
(-62.73628744057283, 8.08130678143302e-6)
(-97.3893722612836, 0)
(-21.991148575128552, 0)
(3.141592653589793, 0)
(12.079512081633247, -0.00106877975605313)
(65.97344572538566, 0)
(-69.02817201024808, 6.06919859876142e-6)
(100.47126408544507, -1.97023197093293e-6)
(62.73628744057283, -8.08130678143302e-6)
(-94.18409611635384, 2.39142557137598e-6)
(37.53961966440337, -3.75660549595209e-5)
(18.52851682996978, -0.000306386325939657)
(-53.40707511102649, 0)
(-9.42477796076938, 0)
(5.243889439521166, -0.0104496783518742)
(50.145974216079686, -1.58041149777668e-5)
(-34.55751918948773, 0)
(24.892865181157465, -0.000127803549693016)
(21.991148575128552, 0)
(-47.1238898038469, 0)
(28.274333882308138, 0)
(-3.141592653589793, 0)
(-103.67255756846318, 0)
(-12.079512081633247, 0.00106877975605313)
(-65.97344572538566, 0)
(72.25663103256524, 0)
(-59.69026041820607, 0)
(31.224356880093286, -6.50966808887725e-5)
(-50.145974216079686, 1.58041149777668e-5)
(43.845666472575125, -2.36168267311103e-5)
(75.31860418049011, -4.67341930056756e-6)
(-91.106186954104, 0)
(-40.840704496667314, 0)
(59.69026041820607, 0)
(-56.44246475902532, 1.10914135327694e-5)
(91.106186954104, 0)
(78.53981633974483, 0)
(84.82300164692441, 0)
(-37.53961966440337, 3.75660549595209e-5)
(87.89635857540073, -2.94179033438626e-6)
(-87.89635857540073, 2.94179033438626e-6)
(-5.243889439521166, 0.0104496783518742)
(9.42477796076938, 0)
(69.02817201024808, -6.06919859876142e-6)
(-84.82300164692441, 0)
(56.44246475902532, -1.10914135327694e-5)
(-18.52851682996978, 0.000306386325939657)
(-78.53981633974483, 0)
(15.707963267948966, 0)
(94.18409611635384, -2.39142557137598e-6)
(-28.274333882308138, 0)
(-15.707963267948966, 0)
(-43.845666472575125, 2.36168267311103e-5)
(-72.25663103256524, 0)
(-81.60791980943141, 3.67490884511663e-6)
(-31.224356880093286, 6.50966808887725e-5)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 81.6079198094314$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = 12.0795120816332$$
$$x_{5} = 100.471264085445$$
$$x_{6} = 62.7362874405728$$
$$x_{7} = 37.5396196644034$$
$$x_{8} = 18.5285168299698$$
$$x_{9} = -53.4070751110265$$
$$x_{10} = -9.42477796076938$$
$$x_{11} = 5.24388943952117$$
$$x_{12} = 50.1459742160797$$
$$x_{13} = -34.5575191894877$$
$$x_{14} = 24.8928651811575$$
$$x_{15} = -47.1238898038469$$
$$x_{16} = -3.14159265358979$$
$$x_{17} = -103.672557568463$$
$$x_{18} = -65.9734457253857$$
$$x_{19} = -59.6902604182061$$
$$x_{20} = 31.2243568800933$$
$$x_{21} = 43.8456664725751$$
$$x_{22} = 75.3186041804901$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -40.8407044966673$$
$$x_{25} = 87.8963585754007$$
$$x_{26} = 69.0281720102481$$
$$x_{27} = -84.8230016469244$$
$$x_{28} = 56.4424647590253$$
$$x_{29} = -78.5398163397448$$
$$x_{30} = 94.1840961163538$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -15.707963267949$$
$$x_{33} = -72.2566310325652$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = -75.3186041804901$$
$$x_{33} = -24.8928651811575$$
$$x_{33} = -100.471264085445$$
$$x_{33} = 40.8407044966673$$
$$x_{33} = 53.4070751110265$$
$$x_{33} = 97.3893722612836$$
$$x_{33} = 34.5575191894877$$
$$x_{33} = 47.1238898038469$$
$$x_{33} = -62.7362874405728$$
$$x_{33} = 3.14159265358979$$
$$x_{33} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = -69.0281720102481$$
$$x_{33} = -94.1840961163538$$
$$x_{33} = 21.9911485751286$$
$$x_{33} = 28.2743338823081$$
$$x_{33} = -12.0795120816332$$
$$x_{33} = 72.2566310325652$$
$$x_{33} = -50.1459742160797$$
$$x_{33} = 59.6902604182061$$
$$x_{33} = -56.4424647590253$$
$$x_{33} = 91.106186954104$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{33} = 84.8230016469244$$
$$x_{33} = -37.5396196644034$$
$$x_{33} = -87.8963585754007$$
$$x_{33} = -5.24388943952117$$
$$x_{33} = 9.42477796076938$$
$$x_{33} = -18.5285168299698$$
$$x_{33} = 15.707963267949$$
$$x_{33} = -43.8456664725751$$
$$x_{33} = -81.6079198094314$$
$$x_{33} = -31.2243568800933$$
Decrece en los intervalos
$$\left[100.471264085445, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.672557568463\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 80.03751936527$$
$$x_{2} = 51.7157837904777$$
$$x_{3} = 6.74389560830075$$
$$x_{4} = 10.5294302230251$$
$$x_{5} = -89.4668286273486$$
$$x_{6} = 35.9707475149935$$
$$x_{7} = -70.5984423541311$$
$$x_{8} = 67.4579314078806$$
$$x_{9} = -39.1086764039796$$
$$x_{10} = -54.8725048633783$$
$$x_{11} = -83.1783382561883$$
$$x_{12} = 26.4597983844386$$
$$x_{13} = -80.03751936527$$
$$x_{14} = -42.2762700825632$$
$$x_{15} = 356.554032824969$$
$$x_{16} = -10.5294302230251$$
$$x_{17} = 48.5762421680465$$
$$x_{18} = -29.6563714086934$$
$$x_{19} = 23.3265629591175$$
$$x_{20} = -13.6349951156977$$
$$x_{21} = -58.0124790381597$$
$$x_{22} = -67.4579314078806$$
$$x_{23} = 45.4151787911182$$
$$x_{24} = -98.9007277835613$$
$$x_{25} = -64.3064486934137$$
$$x_{26} = 83.1783382561883$$
$$x_{27} = -76.888957724397$$
$$x_{28} = 13.6349951156977$$
$$x_{29} = 86.3259029330052$$
$$x_{30} = -23.3265629591175$$
$$x_{31} = 70.5984423541311$$
$$x_{32} = -73.748273533974$$
$$x_{33} = 73.748273533974$$
$$x_{34} = -20.0925011495984$$
$$x_{35} = -92.613596068641$$
$$x_{36} = -48.5762421680465$$
$$x_{37} = 3.79881290481705$$
$$x_{38} = 54.8725048633783$$
$$x_{39} = -35.9707475149935$$
$$x_{40} = -51.7157837904777$$
$$x_{41} = 92.613596068641$$
$$x_{42} = -16.9660549331947$$
$$x_{43} = 61.166165799029$$
$$x_{44} = -45.4151787911182$$
$$x_{45} = -249.732782672848$$
$$x_{46} = 42.2762700825632$$
$$x_{47} = -3.79881290481705$$
$$x_{48} = 16.9660549331947$$
$$x_{49} = 89.4668286273486$$
$$x_{50} = 39.1086764039796$$
$$x_{51} = -26.4597983844386$$
$$x_{52} = -117.759638242453$$
$$x_{53} = -95.7546078767246$$
$$x_{54} = 29.6563714086934$$
$$x_{55} = -61.166165799029$$
$$x_{56} = 95.7546078767246$$
$$x_{57} = -32.7926627594127$$
$$x_{58} = -6.74389560830075$$
$$x_{59} = 64.3064486934137$$
$$x_{60} = 58.0124790381597$$
$$x_{61} = 32.7926627594127$$
$$x_{62} = 20.0925011495984$$
$$x_{63} = -86.3259029330052$$
$$x_{64} = 76.888957724397$$
$$x_{65} = 98.9007277835613$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[356.554032824969, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -249.732782672848\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 80.03751936527$$
$$x_{2} = 51.7157837904777$$
$$x_{3} = 6.74389560830075$$
$$x_{4} = 10.5294302230251$$
$$x_{5} = -89.4668286273486$$
$$x_{6} = 35.9707475149935$$
$$x_{7} = -70.5984423541311$$
$$x_{8} = 67.4579314078806$$
$$x_{9} = -39.1086764039796$$
$$x_{10} = -54.8725048633783$$
$$x_{11} = -83.1783382561883$$
$$x_{12} = 26.4597983844386$$
$$x_{13} = -80.03751936527$$
$$x_{14} = -42.2762700825632$$
$$x_{15} = 356.554032824969$$
$$x_{16} = -10.5294302230251$$
$$x_{17} = 48.5762421680465$$
$$x_{18} = -29.6563714086934$$
$$x_{19} = 23.3265629591175$$
$$x_{20} = -13.6349951156977$$
$$x_{21} = -58.0124790381597$$
$$x_{22} = -67.4579314078806$$
$$x_{23} = 45.4151787911182$$
$$x_{24} = -98.9007277835613$$
$$x_{25} = -64.3064486934137$$
$$x_{26} = 83.1783382561883$$
$$x_{27} = -76.888957724397$$
$$x_{28} = 13.6349951156977$$
$$x_{29} = 86.3259029330052$$
$$x_{30} = -23.3265629591175$$
$$x_{31} = 70.5984423541311$$
$$x_{32} = -73.748273533974$$
$$x_{33} = 73.748273533974$$
$$x_{34} = -20.0925011495984$$
$$x_{35} = -92.613596068641$$
$$x_{36} = -48.5762421680465$$
$$x_{37} = 3.79881290481705$$
$$x_{38} = 54.8725048633783$$
$$x_{39} = -35.9707475149935$$
$$x_{40} = -51.7157837904777$$
$$x_{41} = 92.613596068641$$
$$x_{42} = -16.9660549331947$$
$$x_{43} = 61.166165799029$$
$$x_{44} = -45.4151787911182$$
$$x_{45} = -249.732782672848$$
$$x_{46} = 42.2762700825632$$
$$x_{47} = -3.79881290481705$$
$$x_{48} = 16.9660549331947$$
$$x_{49} = 89.4668286273486$$
$$x_{50} = 39.1086764039796$$
$$x_{51} = -26.4597983844386$$
$$x_{52} = -117.759638242453$$
$$x_{53} = -95.7546078767246$$
$$x_{54} = 29.6563714086934$$
$$x_{55} = -61.166165799029$$
$$x_{56} = 95.7546078767246$$
$$x_{57} = -32.7926627594127$$
$$x_{58} = -6.74389560830075$$
$$x_{59} = 64.3064486934137$$
$$x_{60} = 58.0124790381597$$
$$x_{61} = 32.7926627594127$$
$$x_{62} = 20.0925011495984$$
$$x_{63} = -86.3259029330052$$
$$x_{64} = 76.888957724397$$
$$x_{65} = 98.9007277835613$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{12 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[356.554032824969, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -249.732782672848\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 - cos(x))/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x x^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = - \frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}$$
- No
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = \frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = - \frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}$$
- No
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = \frac{- \cos{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar