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Trazado el gráfico de la función/ log((2^x)/(x*(x-1)*(x-2)),2)/(x*x)

Gráfico de la función y = log((2^x)/(x*(x-1)*(x-2)),2)/(x*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /         x          \
          |        2           |
       log|-----------------, 2|
          \x*(x - 1)*(x - 2)   /
f(x) = -------------------------
                  x*x
f(x)=log⁡(2xx(x−1)(x−2))xxf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x} 
f = log(2^x/(((x*(x - 1))*(x - 2)), 2)/((x*x)))
Gráfico de la función
505001001502002503003504004502-1
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2xx(x−1)(x−2))xx=0\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=8.94967874948549x_{1} = 8.94967874948549
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2^x/(((x*(x - 1))*(x - 2))), 2)/((x*x)).
log⁡(20(−2)(−1)0)0⋅0\frac{\log{\left(\frac{2^{0}}{\left(-2\right) \left(-1\right) 0} \right)}}{0 \cdot 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2xx(x−1)(x−2))xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(2xx(x−1)(x−2))xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2^x/(((x*(x - 1))*(x - 2))), 2)/((x*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2xx(x−1)(x−2))x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2xx(x−1)(x−2))x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2xx(x−1)(x−2))xx=log⁡(−2−xx(−x−2)(−x−1))x2log⁡(2)\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x} = \frac{\log{\left(- \frac{2^{- x}}{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)} \right)}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}}
- No
log⁡(2xx(x−1)(x−2))xx=−log⁡(−2−xx(−x−2)(−x−1))x2log⁡(2)\frac{\log{\left(\frac{2^{x}}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} \right)}}{x x} = - \frac{\log{\left(- \frac{2^{- x}}{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)} \right)}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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