Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -2*cos(x)+1

Gráfico de la función y = -2*cos(x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -2*cos(x) + 1
f(x)=1−2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 1 - 2 \cos{\left(x \right)} 
f = 1 - 2*cos(x)
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−2cos⁡(x)=01 - 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=38.7463093942741x_{1} = 38.7463093942741
x2=13.6135681655558x_{2} = 13.6135681655558
x3=11.5191730631626x_{3} = 11.5191730631626
x4=−55.5014702134197x_{4} = -55.5014702134197
x5=−30.3687289847013x_{5} = -30.3687289847013
x6=−61.7846555205993x_{6} = -61.7846555205993
x7=−86.9173967493176x_{7} = -86.9173967493176
x8=89.0117918517108x_{8} = 89.0117918517108
x9=−51.3126800086333x_{9} = -51.3126800086333
x10=1.0471975511966x_{10} = 1.0471975511966
x11=−68.0678408277789x_{11} = -68.0678408277789
x12=36.6519142918809x_{12} = 36.6519142918809
x13=−70.162235930172x_{13} = -70.162235930172
x14=93.2005820564972x_{14} = 93.2005820564972
x15=−95.2949771588904x_{15} = -95.2949771588904
x16=49.2182849062401x_{16} = 49.2182849062401
x17=30.3687289847013x_{17} = 30.3687289847013
x18=17.8023583703422x_{18} = 17.8023583703422
x19=−32.4631240870945x_{19} = -32.4631240870945
x20=−99.4837673636768x_{20} = -99.4837673636768
x21=63.8790506229925x_{21} = 63.8790506229925
x22=42.9350995990605x_{22} = 42.9350995990605
x23=−225.147473507269x_{23} = -225.147473507269
x24=−93.2005820564972x_{24} = -93.2005820564972
x25=−17.8023583703422x_{25} = -17.8023583703422
x26=7.33038285837618x_{26} = 7.33038285837618
x27=−11.5191730631626x_{27} = -11.5191730631626
x28=57.5958653158129x_{28} = 57.5958653158129
x29=−42.9350995990605x_{29} = -42.9350995990605
x30=−24.0855436775217x_{30} = -24.0855436775217
x31=70.162235930172x_{31} = 70.162235930172
x32=−36.6519142918809x_{32} = -36.6519142918809
x33=−26.1799387799149x_{33} = -26.1799387799149
x34=19.8967534727354x_{34} = 19.8967534727354
x35=−76.4454212373516x_{35} = -76.4454212373516
x36=76.4454212373516x_{36} = 76.4454212373516
x37=−1.0471975511966x_{37} = -1.0471975511966
x38=1651.43053823704x_{38} = 1651.43053823704
x39=55.5014702134197x_{39} = 55.5014702134197
x40=−5.23598775598299x_{40} = -5.23598775598299
x41=51.3126800086333x_{41} = 51.3126800086333
x42=45.0294947014537x_{42} = 45.0294947014537
x43=68.0678408277789x_{43} = 68.0678408277789
x44=−45.0294947014537x_{44} = -45.0294947014537
x45=−82.7286065445312x_{45} = -82.7286065445312
x46=−19.8967534727354x_{46} = -19.8967534727354
x47=−57.5958653158129x_{47} = -57.5958653158129
x48=74.3510261349584x_{48} = 74.3510261349584
x49=−38.7463093942741x_{49} = -38.7463093942741
x50=80.634211442138x_{50} = 80.634211442138
x51=99.4837673636768x_{51} = 99.4837673636768
x52=−359.188760060433x_{52} = -359.188760060433
x53=26.1799387799149x_{53} = 26.1799387799149
x54=−63.8790506229925x_{54} = -63.8790506229925
x55=5.23598775598299x_{55} = 5.23598775598299
x56=−89.0117918517108x_{56} = -89.0117918517108
x57=82.7286065445312x_{57} = 82.7286065445312
x58=−13.6135681655558x_{58} = -13.6135681655558
x59=−80.634211442138x_{59} = -80.634211442138
x60=−74.3510261349584x_{60} = -74.3510261349584
x61=86.9173967493176x_{61} = 86.9173967493176
x62=24.0855436775217x_{62} = 24.0855436775217
x63=−49.2182849062401x_{63} = -49.2182849062401
x64=61.7846555205993x_{64} = 61.7846555205993
x65=95.2949771588904x_{65} = 95.2949771588904
x66=32.4631240870945x_{66} = 32.4631240870945
x67=−7.33038285837618x_{67} = -7.33038285837618
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*cos(x) + 1.
1−2cos⁡(0)1 - 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

(pi, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2cos⁡(x)=02 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−2cos⁡(x))=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(1−2cos⁡(x))=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*cos(x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−2cos⁡(x)=1−2cos⁡(x)1 - 2 \cos{\left(x \right)} = 1 - 2 \cos{\left(x \right)}
- Sí
1−2cos⁡(x)=2cos⁡(x)−11 - 2 \cos{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
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