Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^3+8)/x^2
-
x^3-147*x+11
-
x^3-12
-
x^3-12*x+7
-
Expresiones idénticas
- - uno + dos *(sin(dos *pi*t)/ dos +sin(tres *pi*t)/ tres +sin(pi*t))/pi
- menos 1 más 2 multiplicar por ( seno de (2 multiplicar por número pi multiplicar por t) dividir por 2 más seno de (3 multiplicar por número pi multiplicar por t) dividir por 3 más seno de ( número pi multiplicar por t)) dividir por número pi
- menos uno más dos multiplicar por ( seno de (dos multiplicar por número pi multiplicar por t) dividir por dos más seno de (tres multiplicar por número pi multiplicar por t) dividir por tres más seno de ( número pi multiplicar por t)) dividir por número pi
- -1+2(sin(2pit)/2+sin(3pit)/3+sin(pit))/pi
- -1+2sin2pit/2+sin3pit/3+sinpit/pi
- -1+2*(sin(2*pi*t) dividir por 2+sin(3*pi*t) dividir por 3+sin(pi*t)) dividir por pi
-
Expresiones semejantes
- -1+2*(sin(2*pi*t)/2-sin(3*pi*t)/3+sin(pi*t))/pi
- 1+2*(sin(2*pi*t)/2+sin(3*pi*t)/3+sin(pi*t))/pi
- -1+2*(sin(2*pi*t)/2+sin(3*pi*t)/3-sin(pi*t))/pi
- -1-2*(sin(2*pi*t)/2+sin(3*pi*t)/3+sin(pi*t))/pi
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin((2*pi)*t)
- sin((pi*t)/0.006)
- sin((pi*x)/0.006)
- sin(x/2-pi/4)
- sin(x+pi/4)+1
- Seno sin
- sin((2*pi)*t)
- sin((pi*t)/0.006)
- sin((pi*x)/0.006)
- sin(x/2-pi/4)
- sin(x+pi/4)+1
- Seno sin
- sin((2*pi)*t)
- sin((pi*t)/0.006)
- sin((pi*x)/0.006)
- sin(x/2-pi/4)
- sin(x+pi/4)+1
Gráfico de la función y = -1+2*(sin(2*pi*t)/2+sin(3*pi*t)/3+sin(pi*t))/pi
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(2*pi*t) sin(3*pi*t) \
2*|----------- + ----------- + sin(pi*t)|
\ 2 3 /
f(t) = -1 + -----------------------------------------
pi
$$f{\left(t \right)} = \frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1$$
f = (2*(sin((2*pi)*t)/2 + sin((3*pi)*t)/3 + sin(pi*t)))/pi - 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \pi \cos{\left(\pi t \right)} + 2 \pi \cos{\left(2 \pi t \right)} + 2 \pi \cos{\left(3 \pi t \right)}}{\pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{3}{4}$$
$$t_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$t_{3} = - \frac{1}{4}$$
$$t_{4} = \frac{1}{4}$$
$$t_{5} = \frac{2}{3}$$
$$t_{6} = \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{3}{4}$$
$$t_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$t_{3} = \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{3} = - \frac{2}{3}$$
$$t_{3} = \frac{1}{4}$$
$$t_{3} = \frac{3}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \pi \cos{\left(\pi t \right)} + 2 \pi \cos{\left(2 \pi t \right)} + 2 \pi \cos{\left(3 \pi t \right)}}{\pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{3}{4}$$
$$t_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$t_{3} = - \frac{1}{4}$$
$$t_{4} = \frac{1}{4}$$
$$t_{5} = \frac{2}{3}$$
$$t_{6} = \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
4*\/ 2
1 - -------
3
(-3/4, -1 + -----------)
pi ___
\/ 3
(-2/3, -1 - -----)
2*pi ___
4*\/ 2
-1 - -------
3
(-1/4, -1 + ------------)
pi ___
4*\/ 2
1 + -------
3
(1/4, -1 + -----------)
pi ___
\/ 3
(2/3, -1 + -----)
2*pi ___
4*\/ 2
-1 + -------
3
(3/4, -1 + ------------)
pi Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{3}{4}$$
$$t_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$t_{3} = \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{3} = - \frac{2}{3}$$
$$t_{3} = \frac{1}{4}$$
$$t_{3} = \frac{3}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \pi \left(\sin{\left(\pi t \right)} + 2 \sin{\left(2 \pi t \right)} + 3 \sin{\left(3 \pi t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 1$$
$$t_{3} = - \frac{i \log{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{i \sqrt{36 - \left(1 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{4} = - \frac{i \log{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} + \frac{i \sqrt{36 - \left(1 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{5} = - \frac{i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{6} = - \frac{i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{7} + 14}}{-1 + \sqrt{7}} \right)}}{\pi}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \pi \left(\sin{\left(\pi t \right)} + 2 \sin{\left(2 \pi t \right)} + 3 \sin{\left(3 \pi t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 1$$
$$t_{3} = - \frac{i \log{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{i \sqrt{36 - \left(1 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{4} = - \frac{i \log{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} + \frac{i \sqrt{36 - \left(1 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{5} = - \frac{i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}}{\pi}$$
$$t_{6} = - \frac{i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{7} + 14}}{-1 + \sqrt{7}} \right)}}{\pi}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1\right) = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1\right) = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1\right) = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1\right) = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right\rangle}{\pi} - 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 + (2*(sin((2*pi)*t)/2 + sin((3*pi)*t)/3 + sin(pi*t)))/pi, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = \frac{- 2 \sin{\left(\pi t \right)} - \sin{\left(2 \pi t \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}}{\pi} - 1$$
- No
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = - \frac{- 2 \sin{\left(\pi t \right)} - \sin{\left(2 \pi t \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}}{\pi} + 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = \frac{- 2 \sin{\left(\pi t \right)} - \sin{\left(2 \pi t \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}}{\pi} - 1$$
- No
$$\frac{2 \left(\left(\frac{\sin{\left(2 \pi t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}\right) + \sin{\left(\pi t \right)}\right)}{\pi} - 1 = - \frac{- 2 \sin{\left(\pi t \right)} - \sin{\left(2 \pi t \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \pi t \right)}}{3}}{\pi} + 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar