Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+ln(x))/(x-4)

Gráfico de la función y = (x+ln(x))/(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + log(x)
f(x) = ----------
         x - 4
f(x)=x+log⁡(x)x−4f{\left(x \right)} = \frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4} 
f = (x + log(x))/(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+log⁡(x)x−4=0\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(1)x_{1} = W\left(1\right)
Solución numérica
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + log(x))/(x - 4).
log⁡(0)−4\frac{\log{\left(0 \right)}}{-4}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+1xx−4−x+log⁡(x)(x−4)2=0\frac{1 + \frac{1}{x}}{x - 4} - \frac{x + \log{\left(x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+1x)x−4+2(x+log⁡(x))(x−4)2−1x2x−4=0\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x - 4} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32745.9397987124x_{1} = 32745.9397987124
x2=48812.6813980915x_{2} = 48812.6813980915
x3=34760.5793720106x_{3} = 34760.5793720106
x4=38783.8985529685x_{4} = 38783.8985529685
x5=33753.5222833995x_{5} = 33753.5222833995
x6=40792.827428034x_{6} = 40792.827428034
x7=43803.1077057361x_{7} = 43803.1077057361
x8=42800.0800645983x_{8} = 42800.0800645983
x9=27699.4289684316x_{9} = 27699.4289684316
x10=36773.1883391132x_{10} = 36773.1883391132
x11=37778.7731403642x_{11} = 37778.7731403642
x12=47811.4762989485x_{12} = 47811.4762989485
x13=46809.925612916x_{13} = 46809.925612916
x14=29719.8418978506x_{14} = 29719.8418978506
x15=41796.6571384727x_{15} = 41796.6571384727
x16=45808.020325951x_{16} = 45808.020325951
x17=28709.9529706705x_{17} = 28709.9529706705
x18=31737.8127530236x_{18} = 31737.8127530236
x19=39788.5788225481x_{19} = 39788.5788225481
x20=35767.1290742184x_{20} = 35767.1290742184
x21=30729.1207207176x_{21} = 30729.1207207176
x22=44805.7509925326x_{22} = 44805.7509925326
x23=0.8114375561742x_{23} = 0.8114375561742
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4

lim⁡x→4−(−2(1+1x)x−4+2(x+log⁡(x))(x−4)2−1x2x−4)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x - 4} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(−2(1+1x)x−4+2(x+log⁡(x))(x−4)2−1x2x−4)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x - 4} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)}\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.8114375561742]\left(-\infty, 0.8114375561742\right]
Convexa en los intervalos
[0.8114375561742,∞)\left[0.8114375561742, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x)x−4)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x+log⁡(x)x−4)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + log(x))/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x)x(x−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+log⁡(x)x(x−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x \left(x - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+log⁡(x)x−4=−x+log⁡(−x)−x−4\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4} = \frac{- x + \log{\left(- x \right)}}{- x - 4}
- No
x+log⁡(x)x−4=−−x+log⁡(−x)−x−4\frac{x + \log{\left(x \right)}}{x - 4} = - \frac{- x + \log{\left(- x \right)}}{- x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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