Sr Examen

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(x^3)/(4-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3)/(4-x^2)

Gráfico de la función y = (x^3)/(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3  
         x   
f(x) = ------
            2
       4 - x
f(x)=x34−x2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}} 
f = x^3/(4 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x34−x2=0\frac{x^{3}}{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−5.18663227219019⋅10−5x_{1} = -5.18663227219019 \cdot 10^{-5}
x2=5.02079742868411⋅10−5x_{2} = 5.02079742868411 \cdot 10^{-5}
x3=3.17309646140084⋅10−5x_{3} = 3.17309646140084 \cdot 10^{-5}
x4=−0.000111533956499186x_{4} = -0.000111533956499186
x5=−5.61073488359365⋅10−5x_{5} = -5.61073488359365 \cdot 10^{-5}
x6=−8.36619469563777⋅10−5x_{6} = -8.36619469563777 \cdot 10^{-5}
x7=2.96878048887459⋅10−5x_{7} = 2.96878048887459 \cdot 10^{-5}
x8=3.68009765524614⋅10−5x_{8} = 3.68009765524614 \cdot 10^{-5}
x9=−0.000170166696018749x_{9} = -0.000170166696018749
x10=5.41685505962669⋅10−5x_{10} = 5.41685505962669 \cdot 10^{-5}
x11=−2.89880807553215⋅10−5x_{11} = -2.89880807553215 \cdot 10^{-5}
x12=−5.39025886053056⋅10−5x_{12} = -5.39025886053056 \cdot 10^{-5}
x13=−2.83933143595082⋅10−5x_{13} = -2.83933143595082 \cdot 10^{-5}
x14=−0.000134378358346033x_{14} = -0.000134378358346033
x15=3.58458128063165⋅10−5x_{15} = 3.58458128063165 \cdot 10^{-5}
x16=−7.05989124402088⋅10−5x_{16} = -7.05989124402088 \cdot 10^{-5}
x17=5.63958508047232⋅10−5x_{17} = 5.63958508047232 \cdot 10^{-5}
x18=0.000136141239154743x_{18} = 0.000136141239154743
x19=4.00005612806713⋅10−5x_{19} = 4.00005612806713 \cdot 10^{-5}
x20=−4.23012106715333⋅10−5x_{20} = -4.23012106715333 \cdot 10^{-5}
x21=2.8466317616625⋅10−5x_{21} = 2.8466317616625 \cdot 10^{-5}
x22=0x_{22} = 0
x23=4.67917831062956⋅10−5x_{23} = 4.67917831062956 \cdot 10^{-5}
x24=−0.000102895975701088x_{24} = -0.000102895975701088
x25=3.24762525114847⋅10−5x_{25} = 3.24762525114847 \cdot 10^{-5}
x26=0.000103898950746591x_{26} = 0.000103898950746591
x27=−3.31578314658875⋅10−5x_{27} = -3.31578314658875 \cdot 10^{-5}
x28=6.14581028280139⋅10−5x_{28} = 6.14581028280139 \cdot 10^{-5}
x29=−4.65937740593902⋅10−5x_{29} = -4.65937740593902 \cdot 10^{-5}
x30=5.2112311637843⋅10−5x_{30} = 5.2112311637843 \cdot 10^{-5}
x31=4.38141824340841⋅10−5x_{31} = 4.38141824340841 \cdot 10^{-5}
x32=4.52536561302307⋅10−5x_{32} = 4.52536561302307 \cdot 10^{-5}
x33=8.99412147700574⋅10−5x_{33} = 8.99412147700574 \cdot 10^{-5}
x34=−4.36407104791292⋅10−5x_{34} = -4.36407104791292 \cdot 10^{-5}
x35=−4.82268640354376⋅10−5x_{35} = -4.82268640354376 \cdot 10^{-5}
x36=−3.39728377317918⋅10−5x_{36} = -3.39728377317918 \cdot 10^{-5}
x37=3.78087380223353⋅10−5x_{37} = 3.78087380223353 \cdot 10^{-5}
x38=−0.000150015789823077x_{38} = -0.000150015789823077
x39=−3.98561068030404⋅10−5x_{39} = -3.98561068030404 \cdot 10^{-5}
x40=9.64002910137799⋅10−5x_{40} = 9.64002910137799 \cdot 10^{-5}
x41=−4.99797702619475⋅10−5x_{41} = -4.99797702619475 \cdot 10^{-5}
x42=2.78926234301106⋅10−5x_{42} = 2.78926234301106 \cdot 10^{-5}
x43=−6.11148468260592⋅10−5x_{43} = -6.11148468260592 \cdot 10^{-5}
x44=−4.50685286545851⋅10−5x_{44} = -4.50685286545851 \cdot 10^{-5}
x45=−3.76797425836015⋅10−5x_{45} = -3.76797425836015 \cdot 10^{-5}
x46=7.49788349400003⋅10−5x_{46} = 7.49788349400003 \cdot 10^{-5}
x47=−9.55409138170962⋅10−5x_{47} = -9.55409138170962 \cdot 10^{-5}
x48=−3.87371963276928⋅10−5x_{48} = -3.87371963276928 \cdot 10^{-5}
x49=−8.91959720651235⋅10−5x_{49} = -8.91959720651235 \cdot 10^{-5}
x50=−0.000121839971471264x_{50} = -0.000121839971471264
x51=0.00011272150063151x_{51} = 0.00011272150063151
x52=5.88167774091302⋅10−5x_{52} = 5.88167774091302 \cdot 10^{-5}
x53=3.10192459777013⋅10−5x_{53} = 3.10192459777013 \cdot 10^{-5}
x54=3.4077552501763⋅10−5x_{54} = 3.4077552501763 \cdot 10^{-5}
x55=4.11952833663906⋅10−5x_{55} = 4.11952833663906 \cdot 10^{-5}
x56=8.43148385999583⋅10−5x_{56} = 8.43148385999583 \cdot 10^{-5}
x57=3.32575527575275⋅10−5x_{57} = 3.32575527575275 \cdot 10^{-5}
x58=−3.23811744285416⋅10−5x_{58} = -3.23811744285416 \cdot 10^{-5}
x59=7.93666780143691⋅10−5x_{59} = 7.93666780143691 \cdot 10^{-5}
x60=0.000123271008137431x_{60} = 0.000123271008137431
x61=3.8873591438861⋅10−5x_{61} = 3.8873591438861 \cdot 10^{-5}
x62=−3.16402116018595⋅10−5x_{62} = -3.16402116018595 \cdot 10^{-5}
x63=4.24641013841956⋅10−5x_{63} = 4.24641013841956 \cdot 10^{-5}
x64=4.84391604953844⋅10−5x_{64} = 4.84391604953844 \cdot 10^{-5}
x65=−4.10420284793804⋅10−5x_{65} = -4.10420284793804 \cdot 10^{-5}
x66=−3.48291195273371⋅10−5x_{66} = -3.48291195273371 \cdot 10^{-5}
x67=2.90641891779644⋅10−5x_{67} = 2.90641891779644 \cdot 10^{-5}
x68=−2.7822538545061⋅10−5x_{68} = -2.7822538545061 \cdot 10^{-5}
x69=−3.66787915250259⋅10−5x_{69} = -3.66787915250259 \cdot 10^{-5}
x70=−6.71211256073378⋅10−5x_{70} = -6.71211256073378 \cdot 10^{-5}
x71=7.10596406008811⋅10−5x_{71} = 7.10596406008811 \cdot 10^{-5}
x72=−7.87896531803127⋅10−5x_{72} = -7.87896531803127 \cdot 10^{-5}
x73=6.75366612766008⋅10−5x_{73} = 6.75366612766008 \cdot 10^{-5}
x74=6.43518491947289⋅10−5x_{74} = 6.43518491947289 \cdot 10^{-5}
x75=−2.96083881614977⋅10−5x_{75} = -2.96083881614977 \cdot 10^{-5}
x76=3.49392143580647⋅10−5x_{76} = 3.49392143580647 \cdot 10^{-5}
x77=−6.39750784194713⋅10−5x_{77} = -6.39750784194713 \cdot 10^{-5}
x78=−3.57299101650919⋅10−5x_{78} = -3.57299101650919 \cdot 10^{-5}
x79=−7.4464953356113⋅10−5x_{79} = -7.4464953356113 \cdot 10^{-5}
x80=0.000152250219301269x_{80} = 0.000152250219301269
x81=−3.02559240383893⋅10−5x_{81} = -3.02559240383893 \cdot 10^{-5}
x82=−5.85027031873737⋅10−5x_{82} = -5.85027031873737 \cdot 10^{-5}
x83=−3.09325284157027⋅10−5x_{83} = -3.09325284157027 \cdot 10^{-5}
x84=3.03388703893791⋅10−5x_{84} = 3.03388703893791 \cdot 10^{-5}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(4 - x^2).
034−02\frac{0^{3}}{4 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x4(4−x2)2+3x24−x2=0\frac{2 x^{4}}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−23x_{2} = - 2 \sqrt{3}
x3=23x_{3} = 2 \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___      ___ 
(-2*\/ 3, 3*\/ 3 )

     ___       ___ 
(2*\/ 3, -3*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−23x_{1} = - 2 \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=23x_{1} = 2 \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
[−23,23]\left[- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−23]∪[23,∞)\left(-\infty, - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 \sqrt{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(−x2(4x2x2−4−1)x2−4+6x2x2−4−3)x2−4=0\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2x(−x2(4x2x2−4−1)x2−4+6x2x2−4−3)x2−4)=∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→−2+(2x(−x2(4x2x2−4−1)x2−4+6x2x2−4−3)x2−4)=−∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2x(−x2(4x2x2−4−1)x2−4+6x2x2−4−3)x2−4)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2x(−x2(4x2x2−4−1)x2−4+6x2x2−4−3)x2−4)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x34−x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{4 - x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x34−x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{4 - x^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x24−x2)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x24−x2)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x34−x2=−x34−x2\frac{x^{3}}{4 - x^{2}} = - \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}
- No
x34−x2=x34−x2\frac{x^{3}}{4 - x^{2}} = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3)/(4-x^2)
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